Series Y Sucecioes

Sucesiones y series infinitas

Sucesiones

Una sucesión se puede definir como una lista de números escritos en orden definido

Se puede definir una secuencia como una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos.

Ejemplo1

Algunas sucesiones pueden definirse mediante una formula del n-ésimo término

Ejemplo 2

A) Si es el dígito del n-ésimo lugar decimal del número entonces es una sucesión bien definida cuyos primeros términos son

B) La sucesión de Fibonacci, , se define en forma recurrente por las condiciones

Una sucesión tiene el limite L, y se representa

O bien cuando

Si, para toda , hay un número entero N correspondiente, tal que

Siempre que

Teorema: si , y cuando n es un numero entero, entonces

Leyes de los límites de sucesiones

Si y , son sucesiones convergentes y si c es una constante,

Ejemplo 3

Determina

Solución

La sucesión es convergente si , y divergente para los demás valores de r.

Una sucesión se llama creciente si para toda (esto es, ), decreciente si para toda y monótona si es creciente o decreciente.

Ejemplo 4

Demuestre que la sucesión es decreciente.

Solución

Debemos demostrar que , esto es, que

Esta desigualdad equivale a al que se obtiene por multiplicación cruzada:

Es obvio que es cierta para ; por tanto, y así es decreciente.

Una sucesión está acotada por arriba si hay un número M tal que

Para toda

Está acotada por abajo si hay un número m tal que

Para toda

Si está acotada por arriba y por abajo, es una sucesión acotada

Por ejemplo, la sucesión está (0 es) acotada por abajo ( ), pero no por arriba. La sucesión está acotada porque para toda n.

Teorema: toda sucesión acotada y monótona es convergente

Indica que una sucesión es creciente y acotaba arriba, es convergente. (De igual forma, una sucesión decreciente convergente cuando está acotada abajo). Esto se aplica muchas veces cuando se manejan series infinitas

Series

Al sumar los términos de una sucesión infinita, obtenemos una expresión que se llama serie infinita, o tan sólo serie, y se representa con el símbolo

O bien

Serie convergente

El numero s de denomina suma de la serie. Si la serie no converge, es divergente

Serie geométrica

Converge si y su suma es

Si , la serie geométrica diverge

Ejemplo 1

Calcule la suma de la serie geométrica

Solución

El primer termino es a=5 y la razón común es . Como , la serie es convergente y su suma es

Prueba de divergencia

Ejemplo 2

Demuestre que la serie diverge

Solución

La serie diverge

Prueba de la integral y estimados de la sumas

Prueba de la integral

a) Si es convergente, entonces converge

b) Si diverge, entonces es divergente

Ejemplo 3

Indique que la serie converge o diverge.

Solución

La función es positiva y continua cuando porque la función logaritmo es continua; pero no es obvio que f sea decreciente, así que determinaremos su derivada:

Entonces <0 cuando ; esto es, . En consecuencia, f es decreciente cuando y ahora si podemos aplicar la prueba de la integral:

Como esta integral impropia es divergente, la serie también es divergente, según la prueba de la integral.

Estimando el residuo para la prueba de la integral

Si convergente según la prueba de la integral y entonces

Pruebas de comparación

En las pruebas de comparación se compara una serie con otra definida como convergente o divergente

Supongamos

...