TRABAJO FINAL DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA II

TRABAJO FINAL DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA II

INTEGRANTES: JENNY ESPINO ARMELLA

HERMAN NOGALES LEON

ELIO BARRANCO VACA

DOCENTE: ING. MABEL MENDOZA FLORES

MATERIA: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA II

FECHA: 17/17/2011

Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar unos ciertos valores enteros.

Ejemplos:

• Número de caras obtenidas al lanzar tres monedas: 0, 1, 2, 3.

• Suma de las caras superiores obtenidas al lanzar dos dados: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Distribución de probabilidad

En las distribuciones estadísticas discretas obtenemos los resultados (frecuencias absolutas fi y relativas hi) de forma experimental o empírica. Son los resultados obtenidos.

Si suponemos que realizamos el experimento muchas veces (infinitas) obtenemos la distribución de probabilidad. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria es teórica. Son los resultados esperados.

Es una idealización de la correspondiente distribución de frecuencias. También se llama función de probabilidad o ley de probabilidad.

Características:

• A cada valor de la variable aleatoria xi le hacemos corresponder una probabilidad esperada teórica pi.

• Se representa gráficamente mediante un diagrama de barras.

• La suma de todas las probabilidades esperadas es uno.

Ejemplo

Lanzamos un dado perfecto 240 veces, anotamos el resultado obtenido en la cara superior obteniendo los siguientes resultados:

Cara superior 1 2 3 4 5 6

Número de veces 40 39 42 38 42 39

• Construir la tabla de distribución de frecuencias relativas de los resultados obtenidos.

• Construir la tabla de distribución de probabilidad de los resultados esperados.

• Representar gráficamente las dos distribuciones.

* Si un dado es perfecto la probabilidad de todas las caras es la misma y vale 1/6.

Tablas de distribución de frecuencias y distribución de probabilidad.

Distribución de frecuencias

Resultados obtenidos

Cara xi Frecuencia

Absoluta fi Frecuencia relativa hi

1 40 0,1667

2 39 0,1625

3 42 0,1750

4 38 0,1583

5 42 0,1750

6 39 0,1625

240 1

Distribución de probabilidad

Resultados esperados

Cara xi Número de

veces Probabilidad

pi

1 40 1/6

2 40 1/6

3 40 1/6

4 40 1/6

5 40 1/6

6 40 1/6

240 1

Representación gráfica de las dos funciones

En la gráfica de los valores esperados, observamos que a cada valor de la variables aleatoria xi "cara del dado" le hacemos corresponder su probabilidad teórica. A esta ley se le llama distribución de probabilidad.

Distribución de Bernoulli

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito (p) y valor 0 para la probabilidad de fracaso (q = 1 − p).

Si X es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria se distribuye como una Bernoulli de parámetro .

La fórmula será:

Su función de probabilidad viene definida por:

Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo, y la serie de esos experimentos como ensayos repetidos.

Propiedades características

Esperanza matemática:

Varianza:

Función generatriz de momentos:

Función característica:

Moda:

0 si q > p (hay más fracasos que éxitos)

1 si q < p (hay más éxitos que fracasos)

0 y 1 si q = p (los dos valores, pues hay igual número de fracasos que de éxitos)

Asimetría (Sesgo):

Curtosis:

La Curtosis tiende a infinito para valores de p cercanos a 0 ó a 1, pero para la distribución de Bernoulli tiene un valor de curtosis menor que el de cualquier otra distribución, igual a -2.

[editar] Distribuciones Relacionadas

• Si son n variables aleatorias identicamente distribuidas con la distribución de Bernoulli con la misma probabilidad de éxito p en todas, entonces la variable aleatoria presenta una Distribución Binomial de probabilidad.

X˜Bi(n,p)

Ejemplo

"Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".

Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.

La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).

Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.

X˜Be(0,5)

P(X = 0) = f(0) = 0,500,51 = 0,5

P(X = 1) = f(1) = 0,510,50 = 0,5

________________________________________

Ejemplo:

"Lanzar un dado y salir un 6".

Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:

Ω = {1,2,3,4,5,6}

Estamos realizando un único experimento (lanzar el dado una sola vez).

Se considera éxito sacar un 6, por tanto, la probabilidad según el teorema de Laplace (casos favorables dividido entre casos posibles) será 1/6.

p = 1 / 6

Se considera fracaso no sacar un 6, por tanto, se considera fracaso sacar cualquier otro resultado.

q = 1 − p = 1 − 1 / 6 = 5 / 6

La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale un 6", y solo existen dos valores posibles, 0 (que no salga 6) y 1 (que salga un 6).

Por tanto, la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro p = 1/6

X˜Be(1 / 6)

La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 1.

P(X = 1) = f(1) = (1 / 6)1 * (5 / 6)0 = 1 / 6 = 0.1667

La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 0.

P(X = 0) = f(0) = (1 / 6)0 * (5 / 6)1 = 5 / 6 = 0.8333

Distribución binomial

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.

Ejemplos

Las siguientes situaciones son ejemplos de experimentos que pueden modelizarse por esta distribución:

• Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número X de tres obtenidos: entonces X ~ B(10, 1/6)

• Se lanza una moneda dos veces y se cuenta el número X de caras obtenidas: entonces X ~ B(2, 1/2)

• Una partícula se mueve unidimensionalmente con probabilidad q de moverse de aqui para allá y 1-q de moverse de allá para acá

Experimento Binomial

Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan como p y q o p y 1-p).

Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los n experimentos.

Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribución de probabilidad binomial, y se denota B(n,p).

Características analíticas

Su función de probabilidad es

Donde

Siendo las combinaciones de en ( elementos tomados de en )

Ejemplo

Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):

Propiedades características

Relaciones con otras variables aleatorias

Si n tiende a infinito y p es tal que producto entre

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