Teorias De Conjuntos

ÍNDICE

A.- DEFINICIÓN DE CONJUNTO……………………………………………..……………………….. 3

B.- DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO………………………..………………………………. 3

C.- REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UN CONJUNTO……..………………………………… 5

D.- RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS………………………………………………………………… 8

E.- CLASES DE CONJUNTOS…………………………………………………………………………… 10

F.- OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS…………………………………………………………. 12

G.- PAR ORDENADO…………………………………………………………………………………….. 20

H.- PRODUCTO CARTESIANO ENTRE CONJUNTOS ………………………………………. 21

EJERCICIOS

CONCLUSIONES

BIBLIOGRAFIA

INTRODUCCIÓN

Debido a la necesidad del hombre de conocer, dominar y sobrevivir en el mundo que le rodea, han surgido las ciencias, y entre ellas, la matemática. Los innumerables problemas relacionados con los números, han hecho que la ciencia matemática abarque un campo muy amplio de estudio.

Hoy sabemos que todos los conceptos de la matemática, desde los números naturales hasta las variedades diferenciables, pueden reducirse a la noción de conjunto o colección de objetos, es decir, todos ellos pueden definirse formalmente a partir de estos. Así pues, para dar completo rigor a todas las afirmaciones matemáticas basta con dar rigor a las afirmaciones sobre conjuntos.

La idea de agrupar objetos de la misma naturaleza para clasificarlos en “colecciones” o “conjuntos” es parte de la vida diaria de los seres humanos. Por ejemplo, el conjunto de libros de una biblioteca, el conjunto de árboles en un terreno, el conjunto de zapatos en un negocio de venta al público, el conjunto de utensilios en una cocina, etc. En todos estos ejemplos, se utiliza la palabra conjunto como una colección de objetos.

El contenido del presente trabajo se ha desarrollado de forma didáctica, buscando que el tema sea de fácil comprensión.

TEORÍA DE CONJUNTOS

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

A. DEFINICIÓN DE CONJUNTO:

 Es toda agrupación, colección o reunión de cualquier especie siempre que exista un criterio preciso que nos permita que un objeto pertenezca o no a dicha agrupación.

 Es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.

 Es la presencia o ausencia de elementos con características semejantes dentro de un contexto real o imaginario.

Ejemplos:

 : el conjunto vacío, que carece de elementos.

 N: el conjunto de los números naturales.

 Z: el conjunto de los números enteros.

 Q : el conjunto de los números racionales.

 R: el conjunto de los números reales.

 C: el conjunto de los números complejos.

B. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO:

Un conjunto queda perfectamente definido si se conocen con exactitud los elementos que lo integran o que pertenecen a él; es decir, si se nombran todos sus elementos o bien si se usa un enunciado o propiedad que lo identifique. Independientemente de la forma en que se lo represente, siempre se usa una letra mayúscula que lo define. Esta letra mayúscula representa a un conjunto específico de elementos.

Existen dos maneras de determinar un conjunto dado:

 Por Extensión: se define nombrando a cada elemento del conjunto.

Un conjunto "D" está determinado por extensión cuando se mencionan uno por uno todos sus elementos o cuando, si son números, se mencionan los primeros de ellos (y se coloca puntos suspensivos)

Ejemplos:

D = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…………………}

Sin embargo, no todos los conjuntos pueden ser determinados de esta sobre todo cuando el número de elementos que constituyen el conjunto es muy elevado.

Imagine los casos de aquellos conjuntos que tienen infinitos elementos como el conjunto de estrellas del universo.

Es por ello, que necesariamente, se debe emplear otro procedimiento para determinar los conjuntos que tienen muchos elementos. A esta otra forma de determinar a un conjunto se le denomina comprensión que también se puede utilizar para cualquier conjunto.

 Por Comprensión: se define mediante un enunciado o atributo que representa al conjunto (se busca una frase que represente a la totalidad de elementos sin nombrar a ninguno en particular).

Un conjunto "D" está determinado por comprensión cuando se enuncia una ley o una función que permite conocer que elementos la cumplen y por tanto, van a pertenecer al conjunto D.

Para diferenciar cada forma de determinar un conjunto veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1

Por extensión:

D = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

Por comprensión: (una posible respuesta sería)

D = {x/"x" es un día de la semana}

Se lee:

"El conjunto D está formado por todos los elementos "x" que satisfacen la condición de ser un día de la semana".

Otra posible respuesta sería:

"D es el conjunto constituido por todos los elementos "x" tal que X es un día de la semana"

Ejemplo 2

Por extensión:

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…………………}

Por comprensión: (una posible respuesta sería)

C = {x/x = (2n – 1) ^ x(N}

Se lee:

"C es un conjunto formado por los elementos "x" tal que "x" es un número impar y "x" pertenece al conjunto de los números naturales.

Ejemplo 3

Determinar por comprensión el conjunto "S" formado por los elementos dos y tres.

Por extensión:

S = {2,3}

Por comprensión:

S = {x/x2 - 5x + 6 = 0}

Se lee.

"S es un conjunto formado por los elementos "x" tal que x al cuadrado menos cinco x mas seis es igual a cero.

C. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UN CONJUNTO:

a) Diagrama de ven- Euler: Los conjuntos de suelen representar gráficamente mediante "diagramas de Venn", con una línea que encierra a sus elementos.

Consiste en graficar mediante círculos, elipses, rectángulos, u otras figuras geométricas de área plana, cada uno de los conjuntos con los que se labora. Generalmente los puntos interiores a un rectángulo representan al conjunto del sistema.

En estos diagramas el conjunto se representa mediante una superficie limitada por una línea. En su interior se colocan los elementos del conjunto. Cada porción del plano limitada se nombra con una letra mayúscula.

Así, todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar gráficamente con el fin de obtener una idea más intuitiva.

A  B

A  B

A  B

A  B

A  B

b) Diagramas lineales: Son aquellos en donde se emplean líneas para determinar la jerarquía entre conjuntos y se grafican uno debajo de otro teniendo en cuenta si es subconjunto o está incluido en el que va en la parte superior.

Ejemplo:

Si el conjunto universal lo forman las letras del alfabeto y además se tiene los siguientes conjuntos:

A = {a, b, c, d}

B = {c, a, d}

C = {a, d}

Observamos que: C ( B; además B ( A; y como U es el conjunto universal (todas las letras del alfabeto)

La representación lineal será:

D. RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS:

a) INCLUSIÓN:

Se dice que "A" está incluido en el conjunto "B", cuando todo elemento de A, pertenece a "B". La inclusión se simboliza por: ""

También se puede decir que A es subconjunto del conjunto B. Se puede denotar por B(A, que se lee "B incluye, contiene al conjunto A"

Ejemplo:

Si: P = {vacas}

M = {mamíferos}

Entonces se tiene:

Sean por ejemplo los conjuntos:

A = {a, b, c, d} B = {a, d}

C = {b, d, a, c} D = {a, c, e}

En este caso se observa las siguientes inclusiones:

B A; C A; AC

En cambio los conjuntos "C" y "D" son incomparables, porque ni "C" incluye a "D", ni "D" incluye a "C", es decir:

DC; CD

Hemos visto que pueden ocurrir al mismo tiempo las dos inclusiones C  A y A C, esto quiere decir, que A = C.

b) CONJUNTOS IGUALES

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, su forma simbólica es: A = B

Nótese que decimos los mismos elementos

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