Tipos de números reales

Número real

En matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes1 (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: , el número real log2, cuya trascendencia fue mentada por Euler en el siglo XVIII.1

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.2 En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

Tipos de números reales[editar • editar código]

Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:

Ejemplos

1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.

5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).

es irracional y su expansión decimal es aperiódica.

Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales son algebraicos: si es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz de la ecuación qx=p. Sin embargo, no todos los números algebraicos son racionales.

Ejemplos

El número es algebraico puesto que es la raíz del polinomio

Un ejemplo de número trascendente es

Construcción por números decimales[editar • editar código]

Consideramos los números decimales como los conocemos intuitivamente. Sabemos que , es decir, el número π se expresa como el número entero 3 y una secuencia infinita de dígitos 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc.

Un número decimal se expresa entonces como donde es un número entero y cada es un elemento del conjunto . Además, consideramos que no existen las colas de 9.

Al conjunto de todos los números decimales donde es un número entero positivo se le denota por y se le llama el conjunto de los números reales positivos.

Al conjunto de todos los números decimales donde es un número entero negativo se le denota por y se le llama el conjunto de los números reales negativos.

Al número decimal se le llama cero.

Al conjunto se le denota por y se le llama conjunto de números reales.

Se define la relación de orden total de los números decimales como

1. para todo

2. siempre que y

3. para todo

4. Dados dos números reales cualesquiera y , en cualquiera de los casos siguientes:

•

• y además existe tal que para todo y

Construcción por cortaduras de Dedekind[editar • editar código]

Artículo principal: Cortaduras de Dedekind

Hay valores que no se pueden expresar como números racionales, tal es el caso de . Sin embargo es claro que se puede aproximar con números racionales tanto como se desee. Podemos entonces partir al conjunto de los números racionales en dos subconjuntos y de manera que en el conjunto se encuentran todos los números racionales y en todos los números racionales tales que .

Una cortadura de dedekind es un par ordenado que hace precisamente esto. Conceptualmente, la cortadura es el "espacio" que hay entre y . De esta manera es posible definir a como tal que y .

Es posible demostrar que queda unívocamente definido por , de esta manera la cortadura se reduce simplemente a .

También es demostrable que el conjunto de todas las cortaduras cumple con los axiomas de los números reales, de esta manera es el conjunto de todas las cortaduras de Dedekind. Esta es la primera construcción formal de los números reales bajo

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