Unidad II Estadistica Inferencial

2.3 ESTIMACIÓN PUNTUAL

La inferencia estadística está casi siempre concentrada en obtener algún tipo de conclusión acerca de uno o más parámetros (características poblacionales). Para hacerlo, se requiere que un investigador obtenga datos muéstrales de cada una de las poblaciones en estudio. Entonces, las conclusiones pueden estar basadas en los valores calculados de varias cantidades muéstrales.

Ejemplo: representamos con (parámetro) el verdadero promedio de resistencia a la ruptura de conexiones de alambres utilizados para unir obleas de semiconductores. Podría tomarse una muestra aleatoria de 10 conexiones para determinar la resistencia a la ruptura de cada una, y la media muestral de la resistencia a la ruptura se podía emplear para sacar una conclusión acerca del valor de. De forma similar, si es la varianza de la distribución de resistencia a la ruptura, el valor de la varianza muestral s2 se podría utilizar para inferir algo acerca de.

Cuando se analizan conceptos generales y métodos de inferencia es conveniente tener un símbolo genérico para el parámetro de interés. Se utilizará la letra griega para este propósito. El objetivo de la estimación puntual es seleccionar sólo un número, basados en datos de la muestra, que represente el valor más razonable de.

Una muestra aleatoria de 3 baterías para calculadora podría presentar duraciones observadas en horas de x1=5.0, x2=6.4 y x3=5.9. El valor calculado de la duración media muestral es = 5.77, y es razonable considerar 5.77 como el valor más adecuado de.

Una estimación puntual de un parámetro es un sólo número que se puede considerar como el valor más razonable de. La estimación puntual se obtiene al seleccionar una estadística apropiada y calcular su valor a partir de datos de la muestra dada. La estadística seleccionada se llama estimador puntual de.

El símbolo (theta sombrero) suele utilizarse para representar el estimador de y la estimación puntual resultante de una muestra dada. Entonces se lee como "el estimador puntual de es la media muestral". El enunciado "la estimación puntual de es 5.77" se puede escribir en forma abreviada.

Ejemplo: En el futuro habrá cada vez más interés en desarrollar aleaciones de Mg de bajo costo, para varios procesos de fundición. En consecuencia, es importante contar con métodos prácticos para determinar varias propiedades mecánicas de esas aleaciones. Examine la siguiente muestra de mediciones del módulo de elasticidad obtenidos de un proceso de fundición a presión:

44.2 43.9 44.7 44.2 44.0 43.8 44.6 43.1

Suponga que esas observaciones son el resultado de una muestra aleatoria. Se desea estimar la varianza poblacional. Un estimador natural es la varianza muestral: En el mejor de los casos, se encontrará un estimador para el cual siempre. Sin embargo, es una función de las Xi muéstrales, por lo que en sí misma una variable aleatoria.

+ Error de estimación

Entonces el estimador preciso sería uno que produzca sólo pequeñas diferencias de estimación, de modo que los valores estimados se acerquen al valor verdadero.

2.5 INTERVALO DE CONFIANZA PARA MEDIAS

Estimación de la media con conocida.

Es conocido de nosotros durante este curso, que en base a la distribución muestral de medias que se generó en el tema anterior, la fórmula para el cálculo de probabilidad es la siguiente: Como en este caso no conocemos el parámetro y lo queremos estimar por medio de la media de la muestra, sólo se despejará de la formula anterior, quedando lo siguiente: De esta fórmula se puede observar que tanto el tamaño de la muestra como el valor de z se conocerán. Z se puede obtener de la tabla de la distribución normal a partir del nivel de confianza establecido. Pero en ocasiones se desconoce por lo que en esos casos lo correcto es utilizar otra distribución llamada "t" de student si la población de donde provienen los datos es normal.

Para el caso de tamaños de muestra grande se puede utilizar una estimación puntual de la desviación estándar, es decir igualar la desviación estándar de la muestra a la de la población (s=).

Ejemplo: Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de una muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro. Encuentre los intervalos de confianza de 95% y 99% para la concentración media de zinc en el río. Suponga que la desviación estándar de la población es 0.3.

Solución: La estimación puntual de es= 2.6. El valor de z para un nivel de confianza del 95% es 1.96, por lo tanto:

Para un nivel de confianza de 99% el valor de z es de 2.575 por lo que el intervalo será más amplio: El intervalo de confianza proporciona una estimación de la precisión de nuestra estimación puntual. Si es realmente el valor central de intervalo, entonces estima sin error. La mayor parte de las veces, sin embargo, no será exactamente igual a y la estimación puntual es errónea. La magnitud de este error será el valor absoluto de la diferencia entre y, y podemos tener el nivel de confianza de que esta diferencia no excederá.

Como se puede observar en los resultados del ejercicio se tiene un error de estimación mayor cuando el nivel de confianza es del 99% y más pequeño cuando se reduce a un nivel de confianza del 95%.

...