Transformada De Fourier
Enviado por lsantas35 • 2 de Mayo de 2013 • 1.154 Palabras (5 Páginas) • 912 Visitas
TRANSFORMADA DE FOURIER
CONCEPTOS BÁSICOS
La idea de las series de Fourier vista en la clase anterior permite pensar en la
representación de funciones no periódicas, asimilándolas a una periódica de período
infinito. Con esta idea se llega a la transformada de Fourier de una función, definida
por:
F w f t e-iwtdt ¥
-¥ ( ) = ∫ ( )
En base a ella se puede representar a la función f mediante una integral, igual que antes
lo hacíamos mediante una sumatoria en el caso de series de Fourier:
w w
p
f t F eiwtd ∫¥
-¥
= ( )
2
1
( )
La F vendría a jugar, pues, el rol de un “coeficiente”. Ambas expresiones se suelen
relacionar mediante la simbología:
f (t)« F(w )
En realidad, pocas veces se apela al cálculo directo para obtener una transformada, sino
que se las genera a partir de otras conocidas (p. 264 Gabel) más el uso de las
propiedades de la transformada (p. 275 Gabel). Iremos introduciendo algunas de estas
propiedades en los ejemplos resueltos.
PROBLEMAS RESUELTOS
1.) Cálculo directo de una transformada. Calcular la transformada de Fourier de la
función f dada por
< < -
= +
0 demás casos
2
7
1 cos
( ) p p p
t
t
f t
SOLUCIÓN
F f t e i tdt p ( t )e iwtdt
p
w w p -
-
¥ -
-¥ = ∫ = ∫ + 2
( ) ( ) 1 cos 7
Esta integral es fácil pero laboriosa. Una manera de resolverla con relativa practicidad
es expresar el coseno en su forma compleja. Al hacer los cálculos queda:
2 3
2 2
2 2
2 3
2 2
2 2
49 4
2
7
14 sen
2
7
49 4 1 cos
49 4
2
7
14 sen
2
7
49 4 1 cos
( )
p w w
p w p pw p
p w w
p w p pw p
w
pw
pw
- +
+
- + +
-
+
- +
+
- + +
=
-
-
e i i
ie i
F
i
i
2.) Propiedad de simetría. Eligiendo el método más conveniente, calcular la
transformada de Fourier de la función:
it
f t
+
=
4
5
( )
SOLUCIÓN
En las tablas encontramos que
a iw
e atu t
+
- « 1
( )
...