Series de Fourier, Transformadas

Divulgaciones Matem´

aticas v. 5, No. 1/2 (1997), 43–60

Series de Fourier, Transformadas

de Fourier y Aplicaciones

Fourier series, Fourier Transforms and Applications

Genaro Gonz´

alez

Departamento de Matem´

atica y Computaci´

on

Facultad Experimental de Ciencias

Universidad del Zulia. Apartado Postal 526

Maracaibo 4001 - Venezuela

gonzalez@luz.ve

Resumen

En este art´iculo se estudian las series de Fourier en el c´irculo

y la transformada de Fourier de funciones reales in nitamente

diferenciables con todas sus derivadas r´

apidamente decrecientes.

Tambi´en se dan ejemplos de algunas de las aplicaciones m´

as im-

portantes del an´

alisis de Fourier a varias ramas de la matem´

atica

y de la f´isica.

Palabras y frases clave: Teorema del isomor smo, serie de

Fourier, transformada de Fourier, identidad de Parseval, identi-

dad de Plancherel, funciones de Schwartz.

Abstract

In this article we study the Fourier series in the circle and the

Fourier transform of in nitely diferentiable real functions with

all its derivatives rapidly decreasing. We also provide examples

of some of the most important aplications of Fourier analysis to

several branches of mathematics and physics.

Key words and phrases: The isomorphism theorem, Fourier

series, Fourier transform, Parseval identity, Plancherel identity,

Schwartz functions.

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Genaro Gonz´

alez

1 Introducci´

on

La idea b´

asica de las series de Fourier es que to da funci´

on peri´

odica de per´iodo

T puede ser expresada como una suma trigonom´

etrica de senos y cosenos del

mismo per´io do T . El problema aparece naturalmente en astronom´ia, de hecho

Neugebauer (1952) decubri´

o que los Babilonios utilizaron una forma primitiva

de las series de Fourier en la predicci´

on de ciertos eventos celestiales.

La historia moderna de las series de Fourier comenz´

o con D’Alembert

(1747) y su tratado de las oscilaciones de las cuerdas del viol´in. El desplaza-

miento u = u(t, x) de una cuerda de viol´in, como una funci´

on del tiempo t y

de la posici´

on x, es soluci´

on de la ecuaci´

on diferencial

2 u

t2 = 2 u

x2 , t > 0, 0 < x < 1,

sujeto a las condiciones iniciales u(t, 0) = u(t, 1) = 0 para t = 0, u

t (0, x) = 0

para 0 < x < 1. La soluci´

on de este problema es la superposici´

on de dos

ondas via jando en direcciones opuestas a la velocidad 1, como lo expresa la

f´

ormula de D’Alembert:

u(t, x) = 1

2 f (x + t) + 1

2 f (x - t),

en la cual f es una funci´

on impar de per´iodo 2 que se anula en los puntos

x = 0, ±1, ±2, . . . Euler en 1748 propuso que tal soluci´

on pod´ia ser expresada

en una serie de la forma

8

ˆ

f (x) =

f (n) sin npx,

n =1

y como consecuencia

8

ˆ

u(t, x) =

f (n) cos npt sin npx.

n =1

Las mismas ideas fueron luego expuestas por D. Bernoulli (1753) y Lagrange

(1759). La f´

ormula

ˆ

f (x) sin npx dx

f (n) = 2 1

0

para calcular los coe cientes apareci´

o por primera vez en un art´iculo escrito

por Euler en 1777.

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La contribuci´

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