VECTORES EN EL ESPACIO. GRUPO: # 4

UNIDAD EDUCATIVA[pic 1][pic 2]

DR. MANUEL CÒRDOVA GALARZA

CURSO: 3° BACHILLERATO  “NOCTURNO”

        MATERIA: MATEMATICA        

LCDO: JAIME LOZA ACOSTA

1ER PARCIAL DEL 2DO QUIMESTRE

TEMA: VECTORES EN EL ESPACIO

GRUPO: # 4

CORDINADORA:

• FRANCO OTERO CINDY

                INTEGRANTES:        

• GUALPA CASTILLO LEONOR
• MARMOLEJO BOLAÑO ANDRINA
• MONTAÑO TOMALA RONNY
• SANCÀN ALVAREZ KARLA

PRODUCTO ESCALAR

DEFINICIÒN

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.

Más específicamente, es una aplicación cuyo dominio es V 2 y su codominio es K, donde V es un espacio vectorial y K el conjunto de los escalares respectivo. Esta aplicación amplía la oportunidad de emplear los conceptos de la geometría euclídea tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

Un producto escalar se puede expresar como:

donde V es un espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el que está definido V. La función (.,.):  (que toma como argumentos dos elementos de V, y devuelve un elemento del cuerpo K) [pic 3]

Sean u y v dos vectores, y sea θ en ángulo entre u y v, entonces el producto escalar entre u y v se define como el producto entre las normas de los vectores y el coseno del ángulo determinado entre ellos. En símbolos:

u • v = |u|| v| cosθ

Observación: Se entiende por el ángulo θ entre los vectores u y v, al ángulo que satisface

0 ≤ θ ≤ π[pic 4]

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR

Si u = 0  ó  v = 0 entonces el producto escalar entre u y v es: u • v = 0

2. El producto escalar entre vectores es conmutativo: u • v = v • u

3. El producto escalar entre vectores es distributivo respecto de la suma de vectores:

u • (v + w) = u • v +u • w

4. Extracción de un escalar del producto escalar entre vectores:

λ(u • v) = (λ u) • v = u• (λ v)     con λ ∈ R

5. Si los vectores u y v son ortogonales entonces: u • v = 0

6. Si el producto escalar entre u y v es nulo entonces alguno de los vectores es el vector nulo

o los vectores son ortogonales. En símbolos: u • v = 0 ⇒ (u = 0 o v = 0) ó (u ⊥ v)√7. El producto escalar de un vector por si mismo es igual al cuadrado de la norma del vector:

u • u = |u|2

Consecuencia propiedad 7: La propiedad 7 permite enunciar que la norma de un vector es igual a la raíz cuadrada del producto escalar del vector por si mismo. En símbolos:

|u|=√u ● u[pic 5]

Ejemplos:

• Obtener la norma del vector a si sabe que: a • a = 10

Por propiedades del producto escalar sabemos que: |a|² • a = a entonces si  a • a = 10

Resulta que: |a|² = 10. Por lo tanto: |a| = √10

Usando propiedades del producto escalar, reducir a una mínima expresión:

a• (a + b) + a • (a − b)

Aplicando propiedad distributiva del producto escalar respecto de la suma de vectores:

a• (a + b) + a • (a − b) = a• a + a• b + a • a − a• b

Cancelando y aplicando propiedad del producto escalar de un vector por sí mismo, resulta:

Que: a• (a + b) + a • (a – b) = a• a + a • b + a • a − a• b = 2 a •a = 2 |a|²

Por lo tanto: a• (a + b) + a • (a − b) = 2 |a|²

Ejercicios

2. Obtener la norma del vector a no nulo, sabiendo que a esa perpendicular al vector (a–b),

La norma del vector b es √6 y que el ángulo entre a y b es: 45°

3. Encontrar la norma del vector b sabiendo que el vector (a–b) es perpendicular al

Vector (a+b) y que la norma del vector a es 16

4. Demostrar que: Si a ⊥ b ⇒ |a + b|² = |a + b|²

Fórmula del producto escalar entre vectores en función de sus componentes

Sean los vectores: u = Ux i + Uy j + Uz k y v = Vx i + Vy j + Vz k entonces el producto

Escalar entre u y v es:

u • v = Ux Vx + Uy Vy + Uz Vz

Es decir, el producto escalar entre dos vectores es igual a la suma de los productos entre

Componentes homólogas.

Demostración:

Sean los vectores: u = Ux i + Uy j + Uz k y v = Vx i + Vy j + Vz k entonces el producto

Escalar entre u y v es:

u • v = ( Ux i + uy j + Uz k) • (Vx i + Vy j + Vz k) =

Aplicando propiedad distributiva del producto escalar respecto de la suma de vectores,

Obtenemos:[pic 6][pic 7]

= (Ux i) • (Vx i) + (Ux i) • ( Vy j) + (Ux i) • (Vz k) +

[pic 8][pic 9]

 + (Uy j) • (Vx i) + (Uy j) • ( Vy j) + (Uy j) • (Vz k) +[pic 10][pic 11]

 + (Uz k) • (Vx i) + (Uz k) • ( Vy j)+ (Uz k) • (Vz k) =        

Notemos que seis de los nueve términos se anulan, pues los vectores que intervienen son

...