Vectores en el espacio

VECTORES

Definición. - Desde el punto geométrico, un vector 𝐴 es una flecha que tiene magnitud, dirección y sentido. En esta materia consideraremos los vectores en un contexto algebraico.

Desde el punto algebraico, un vector es una n-upla de números reales, que generalmente se simbolizan con letras mayúsculas. Así

𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑛)

A los números 𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑛 se los llama componentes del vector 𝐴.

Operaciones con vectores.

Suma de vectores. - Sean 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑛) y 𝐵 = (𝑏1, 𝑏2, … 𝑏𝑛) vectores, la suma de vectores esta definido por:

𝐴 + 𝐵 = (𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2, … , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) Ejemplo. Sean 𝐴 = (3,5,2) , 𝐵 = (3,4,1) 𝑦 𝐶 = (−6,4, −2) Según la definición

𝐴 + 𝐵 = (3,5,2) + (3,4,1) = (6,9,3)

𝐵 + 𝐶 = (3,4,1) + (−6,4, −2) = (−3,8, −1)

Producto de un vector 𝑨 por un número 𝒄.- Se obtiene multiplicando cada componente de 𝐴 por el número 𝑐.

Siendo 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑛) un vector y 𝑐 un número se tiene:

𝑐𝐴 = (𝑐𝑎1, 𝑐𝑎2, … , 𝑐𝑎𝑛)

Ejemplo. Sea 𝐴 = (4,5,6) 𝑦 𝑐 = 2

El producto según la definición de 𝑐 𝐴 es:

𝑐𝐴 = 2(4,5,6) = (8,10,12)

Propiedades

Sean 𝐴, 𝐵, 𝐶 vectores y 𝑎, 𝑏 números, entonces

1. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴

2. (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶)

3. 0 + 𝐴 = 𝐴 + 0 = 𝐴 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 0 = (0,0, … ,0)

4. ∀𝐴 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟, ∃ − 𝐴 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐴 + (−𝐴) = 0

5. 1𝐴 = 𝐴

6. (𝑎𝑏)𝐴 = 𝑎(𝑏𝐴)

7. (𝑎 + 𝑏)𝐴 = 𝑎𝐴 + 𝑏𝐴

8. 𝑎(𝐴 + 𝐵) = 𝑎𝐴 + 𝑎𝐵

Paralelismo de vectores. - Dos vectores son paralelos si uno de ellos es múltiplo del otro, es decir

𝐴 ⫽ 𝐵 𝑠𝑖𝑖 𝐴 = 𝑐𝐵

𝑠𝑖 𝑐 > 0, 𝐴 𝑦 𝐵 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜

𝑠𝑖 𝑐 < 0, 𝐴 𝑦 𝐵 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠

Ejemplo. Veamos si los siguientes vectores son paralelos 𝐴 = (2,4,7) 𝑦 𝐵 = (6,12,21)

𝐴 = 𝑐𝐵 (2,4,7) = 3(2,4,7)

Como cumple la propiedad entonces los vectores 𝐴 y 𝐵 son paralelos.

Longitud de un vector.- La longitud de un vector 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) denotado por

|𝐴| es el número

[pic 1]

|𝐴| = √𝑎2 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎2

1        2        𝑛

Ejemplo. Hallar la longitud del vector 𝐴 = (3,2,4)

Según la definición se tiene:[pic 2][pic 3]

[pic 4]

|𝐴| = √32 + 22 + 42 = √9 + 4 + 16 = √29

Si un vector tiene módulo 1 se llama vector unitario y a todo vector se puede convertir en vector unitario con la fórmula 𝐴 ; considerando el ejemplo anterior[pic 5]

|𝐴|

tenemos:

𝐴

(3,2,4)        1

3        2        4[pic 6][pic 7]

|𝐴| =[pic 8]

=        (3,2,4) = (

√29        √29        √[pic 9][pic 10][pic 11]

,        ,        ) 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 29 √29 √29

[pic 12]

[pic 13]        [pic 14]

𝐴        √        3        2[pic 15][pic 16]

[pic 17]        [pic 18]        [pic 19]

4        √ 9

[pic 20]

4        16        29

[pic 21][pic 22]

[pic 23]        [pic 24]        [pic 25]

Pues veamos |        | =        (     )   + (     )[pic 26]

+ (     )  =

+        +        = √

= √1 = 1

|𝐴|

√29

√29

√29

29        29        29        29

los más utilizados son los vectores unitarios 𝑖 = (1,0,0), 𝑗 = (0,1,0), 𝑘 = (0,0,1)

El número |𝐴 − 𝐵| da la distancia entre 𝐴 y 𝐵.

Propiedades.-Sean 𝐴, 𝐵 vectores y 𝑐 número real, entonces:

1) |𝐴| ≥ 0

2) |𝐴| = 0 𝑠𝑖 𝐴 = 0

3) |𝑐𝐴| = |𝑐||𝐴|

4) |𝐴 + 𝐵| ≤ |𝐴| + |𝐵|

Producto escalar.- El producto escalar de dos vectores 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) y 𝐵 = (𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛) simbolizado por 𝐴°𝐵 esta definido como:

𝐴°𝐵 = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑏𝑛

Ejemplo. Si 𝐴 = (5, −6,2) 𝑦 𝐵 = (3,1, −4)

entonces 𝐴°𝐵 = 5 × 3 + (−6) × 1 + 2 × (−4) = 15 − 6 − 8 = 1

Propiedades. - Sean 𝐴, 𝐵, 𝐶 vectores y 𝑐 un número real entonces:

1) 𝐴 ⃘𝐵 = 𝐵 ⃘𝐴

2) 𝐴 ⃘(𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ⃘𝐵 + 𝐴 ⃘𝐶

3) (𝑐𝐴) ⃘𝐵 = 𝑐(𝐴 ⃘𝐵) = 𝐴 ⃘(𝑐𝐵)

4) 𝐴 ⃘𝐴 = |𝐴|2

Angulo entre dos vectores. - El ángulo 𝜃 entre los vectores 𝐴 y 𝐵 este dado por:

𝐴 ⃘𝐵

𝑐𝑜𝑠𝜃 = |𝐴||𝐵|[pic 27]

Ejemplo. Encuentre el ángulo de los vectores 𝐴 = (−1, −6,9) 𝑦 𝐵 = (3, −7,8)

Para reemplazar en la fórmula necesitamos[pic 28][pic 29]

[pic 30]

𝐴°𝐵 = −3 + 42 + 72 = 111 ; |𝐴| = √(−1)2 + (−6)2 + (9)2 = √1 + 36 + 81 = √118

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