Vectores en el espacio

Vectores en el espacio 

Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Un vector en el espacio es todo aquel representado mediante un sistema de coordenadas dado por x, y y z. Casi siempre el plano xy es el plano de la superficie horizontal y el eje z representa la altura (o profundidad). 

Aplicaciones

Los vectores en el espacio son extensamente utilizados en mecánica y otras ramas de la física y la ingeniería, ya que las estructuras que nos rodean requieren de la geometría en las tres dimensiones.

Los vectores de posición en el espacio se usan para posicionar objetos con respecto a un punto de referencia llamado origen O. Por ello también son herramientas necesarias en  la navegación, pero eso no es todo.

Las fuerzas que actúan sobre estructuras como pernos, soportes, cables, puntales y más son de naturaleza vectorial y están orientadas en el espacio. Con la finalidad de conocer su efecto, es necesario saber su dirección (y también su punto de aplicación).

Y frecuentemente la dirección de una fuerza se tiene conociendo dos puntos en el espacio que pertenezcan a su línea de acción. De esta forma la fuerza es:

F = F u

Donde F es la magnitud o módulo de la fuerza y u es el vector unitario (de módulo 1) dirigido a lo largo de la línea de acción de F. 

Notación y representaciones de vectores en 3D

Antes de pasar a resolver algunos ejemplos, se repasará brevemente la notación de vectores en 3D.

En el ejemplo de la figura 1, el vector v, cuyo punto de origen coincide con el origen O y cuyo final es el punto P,  tiene coordenadas x y z positivas, mientras que la coordenada y es negativa. Estas coordenadas son: x1, y1, z1, las cuales son precisamente las coordenadas de P.

De manera que si tenemos un vector ligado al origen, es decir, cuyo punto de inicio coincide con O, es muy sencillo indicar sus coordenadas, las cuales serán las del punto extremo o P. Para distinguir entre un punto y un vector, utilizaremos para los últimos letras negritas y corchetes,  así:

 v = < x1, y1, z1 >

Mientras que el punto P se denota con paréntesis:

P = (x1, y1, z1)

Otra representación hace uso de los vectores unitarios i, j y k que definen las tres direcciones del espacio en los ejes x, y y z respectivamente.

Estos vectores son perpendiculares entre sí y conforman una base ortonormal (ver figura 2). Esto significa que un vector en 3D puede escribirse en términos de ellos como:

v = vx i + vy j + vz k

Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).

[pic 1] 

Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ.  

Vector en el espacio

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

[pic 2] 

Componentes de un vector en el espacio

Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector 𝐴𝐴𝐴𝐴⃗  se obtienen restando a las coordenadas del extremo las del origen.

[pic 3] 

Ejemplo: 

Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).

[pic 4] 

Módulo de un vector

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

Cálculo del módulo conociendo sus componentes 

[pic 5] 

[pic 6] 

        [pic 7]        [pic 8] hallar sus módulos  

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos 

[pic 9] 

[pic 10] 

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que determinan dichos puntos.

[pic 11] 

Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(2, 3, −1).

[pic 12] 

Vector unitario

Un vector unitario tiene de módulo la unidad. 

Normalizar un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado. Para ello se  divide cada componente del vector por su módulo.  

[pic 13] 

Operaciones con vectores en el espacio 

Suma de vectores

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.  

[pic 14] 

[pic 15] 

Ejemplos 

        Dados         [pic 16]        = (2, 1, 3), [pic 17]= (1, −1, 0), [pic 18]= (1, 2, 3), hallar el vector

 𝑋𝑋⃗= 2u + 3v − w.

𝑋𝑋⃗ = (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3, 3) 

Dados los vectores𝑢𝑢⃗ (2,4,5) 𝑦𝑦 𝑣𝑣⃗ (3,1,2) hallar el módulo del vector . 𝑢𝑢⃗ − 𝑣𝑣⃗ 

                 [pic 19]

[pic 20]

Propiedades de la suma de vectores 

Asociativa 

        + (         +         ) = (         +         ) +          [pic 21]

Conmutativa 

[pic 22] 

Elemento neutro 

[pic 23] 

Elemento opuesto 

        + (−         ) =          [pic 24]

Producto de un número real por un vector

El producto de un número real k ∈ ℝpor un vector 𝑢𝑢⃗  es otro vector:

De igual dirección que el vector 𝑢𝑢⃗ .

Del mismo sentido que el vector 𝑢𝑢⃗  si k es positivo.

De sentido contrario del vector 𝑢𝑢⃗  si k es negativo.

        De módulo          [pic 25]

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

[pic 26] 

Propiedades del producto de un número por un vector  Asociativa 

k · (k' · 𝑢𝑢⃗ ) = (k · k') · 𝑢𝑢⃗ 

Distributiva respecto a la suma de vectores 

k · (𝑢𝑢⃗ + 𝑣𝑣⃗ ) = k · 𝑢𝑢⃗ + k · 𝑣𝑣⃗ 

Distributiva respecto a los escalares 

(k + k') ·𝑢𝑢⃗  = k · 𝑢𝑢⃗ + k' · 𝑢𝑢⃗ 

Elemento neutro  

1 · 𝑢𝑢⃗ = 𝑢𝑢⃗ 

Ejemplo 

Dado 𝑣𝑣⃗ = (6, 2, 0) determinar 𝑢𝑢⃗  de modo que sea 3𝑢𝑢⃗  = 𝑣𝑣⃗ .

         [pic 27] 

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