Vectores En El Espacio

Vectores en el espacio.-

1. Operaciones con vectores.

2. Expresión analítica de un vector.

3. Producto escalar de dos vectores. Propiedades.

4. Producto vectorial de dos vectores. Propiedades.

5. Producto mixto de tres vectores. Propiedades.

Objetivos Mínimos

- Concepto de vector en el espacio. Operciones con vectores.

- Vectores linealmente dependientes e independientes.

Base de un espacio vectorial tridimensional.

Coordenadas de un vector respecto a una base.

- Definición de producto escalar de vectores y su expresión analítica.

Aplicaciones del producto escalar de dos vectores:

• para hallar el ángulo entre ellos

• para determinar la proyección de un vector sobre otro

• para comprobar perpendicularidad entre ambos.

- Definición de producto vectorial y su expresión analítica. Aplicaciones del producto vectorial de dos vectores:

• para calcular el área del paralelogramo que determinan.

• para obtener un vector perpendicular a ambos.

- Definición de producto mixto de tres vectores y su expresión analítica.

Aplicación del producto mixto:

• para calcular el volumen del paralelepípedo que determinan.

Introducción.-

El concepto de vector fue utilizado desde finales del siglo XVII para representar y componer magnitudes con dirección y sentido, como son la Fuerza o la Velocidad.

Es a finales del XVIII cuando Lagrange introduce las coordenadas, con lo que se aritmetiza el cálculo con magnitudes vectoriales.

Gauss los utilizó para representar los números complejos.

En el siglo XIX, Möbius se sirve de los vectores para resolver problemas geométricos, dándole sentido a las coordenadas. El primero que utiliza, en este siglo, la palabra vector es Hamilton.

Finalmente Grassmann amplió la teoría de vectores generalizándola a espacios de dimensión(n).

1. Operaciones con vectores.-

Las características de los vectores en el espacio, así como las operaciones, son idénticas a las de los vectores en el plano. Recordamos que:

Un Vector es un segmento orientado.

A los puntos P y Q que definen el vector se les llama respectivamente: “origen” y “extremo” del vector.

Todo vector se caracteriza por:

Módulo: que es la distancia del punto P al Q.

Dirección: que es la misma que la recta que lo contiene (o paralela).

Sentido: para un vector, lo marca el del recorrido de P a Q.

(cada dirección tiene dos sentidos opuestos de recorrido).

Dos vectores son “iguales” si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Los vectores: y cumplen las tres condiciones de igualdad, de ahí que cuando queramos hacer uso de un vector podamos tomar uno cualquiera de los que son iguales a él.

Todos ellos son representantes de un único vector.

Habitualmente al vector se le designa con una flecha encima de una letra minúscula: (por ejemplo) o bien mediante uno de sus representantes escribiendo el orígen y el extremo con una flecha encima: (por ejemplo)

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO

Dado un número y un vector definimos el vector [o simplemente ] como aquel que:

*tiene la misma dirección que .

*el mismo sentido que si y

sentido contrario al de si

*su módulo es igual al de multiplicado por el valor absoluto de: .

Si el vector se denomina opuesto del vector , se escribe:

Si el vector es el vector cero: cuyo extremo y orígen coinciden.

SUMA Y RESTA DE VECTORES.

Dados dos vectores y cualesquiera.

Para poder sumarlos hay que tomar un representante de cada uno de ellos con orígen común(O).

En ese caso el vector suma: es la diagonal cuyo orígen es (O).

El vector resta: es la diagonal que va del extremo de al extremo de .

2. Expresión analítica de un vector.-

Dados los vectores del espacio: y los números: la expresión: se llama combinación lineal de dichos vectores.

En el ejemplo, a la izquierda, tenemos una combinación lineal de los vectores y .

Decimos que varios vectores son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los restantes.

Cuando no es así, se dice que son linealmente independientes.

Por ejemplo:

*Dos vectores alineados son linealmente dependientes (LD).

*Dos vectores no alineados son linealmente independientes (LI).

*Tres vectores coplanarios (están en el mismo plano) son (LD).

Así en el ejemplo de más arriba el vector es coplanario con los vectores y , es decir, es combinación lineal de y : .

Por el contrario tres vectores no coplanarios son (LI).

Dados tres vectores no coplanarios del espacio tridimensional.

En estas condiciones, cualquier otro vector de ese espacio se puede escribir como combinación lineal única de los vectores .

Se dice que los vectores forman una base del espacio tridimensional.

Si los vectores de la base son perpendiculares entre sí la base se dice ortogonal y si además de perpendiculares entre sí, tienen todos módulos uno decimos que la base es ortonormal.

A partir de ahora, salvo indicación en contra, trabajaremos siempre con la base canónica del espacio tridimensional (que es ortonormal).

Se definen las coordenadas de un vector respecto a esa base como:

tres números (a,b,c) que sirven para pasar desde el punto P(origen) al punto Q(extremo) del vector dado.

• “a” las unidades que me he de desplazar sobre la dirección X

(hacia adelante si a es positivo y hacia atrás si a es negativo).

• “b” las unidades que me he de desplazar sobre la dirección Y

(hacia la derecha si b es positivo y hacia la izquierda si b es negativo).

• “c” las unidades que me he de desplazar sobre la dirección Z

(hacia arriba si c es positivo y hacia abajo si c es negativo).

OPERACIONES CON COORDENADAS.

Como ya conocemos de cursos anteriores, las coordenadas de los vectores se comportan razonablemente cuando operamos con ellas. Así:

Si son las coordenadas respectivas entonces:

* Coordenadas de la Suma de vectores.

* Coordenadas del Producto de un número por un vector.

Como consecuencia de estos resultados, será enormemente útil y cómodo trabajar con los vectores a partir de sus coordenadas.

3. Producto escalar de dos vectores. Propiedades.

Se define el producto escalar de dos vectores y como el número que se obtiene del siguiente modo.

• Si es agudo, y por tanto:

• Si es obtuso, y por tanto:

Propiedad fundamental del producto escalar.

El producto escalar de dos vectores no nulos es cero si y solamente si ambos son perpendiculares. Es decir:

y ;

Otras propiedades del producto escalar.

Resulta conveniente conocer todas las propiedades que vamos a ver a continuación, por ello se pondrán en práctica con los ejercicios para que las memorices de forma natural.

• Conmutatividad del producto escalar: (inmediato).

• Propiedad asociativa: (inmediato).

• Propiedad distributiva:

• Módulo de un vector: (inmediato de la definición).

• Àngulo de dos vectores: (inmediato).

• Vector proyección de sobre es el vector:

es la longitud del segmento (AB), con

signo + ó - según sea( ) agudo u obtuso.

Si este número lo multiplicamos por el vector unitario: obtenemos

el vector proyección de sobre buscado: .

Expresión analítica del producto escalar.

Si consideramos una base ortonormal del espacio tridimensional, a la que llamamos con las letras (Física). Es fácil comprobar que:

; ; ; ;

Si las coordenadas de los vectores y en la base son: el producto escalar de los vectores y se obtiene:

Ejemplo.-

Respecto de una base ortonormal, las coordenadas de tres vectores son:

.

A) Calcula B) Determina para que y sean perpendiculares.

A)

B)

Si son las coordenadas en la base: :

Módulo de un vector

Àngulo de dos vectores

Proyección de sobre

Segmento proyección:

Vector proyección:

Ejemplo.- Si en la base

Calcula: A) B) y C) ángulo que forman y

D) vector proyección de sobre E) Determina para que .

A) B)

C) ;

D) Segmento proyección: el vector proyección es de módulo: (6,07) y sentido contrario a .

Vector proyección:

E) ;

4. Producto vectorial de dos vectores. Propiedades.

El producto vectorial de dos vectores , y escribimos , es un nuevo vector que se define del siguiente modo:

Si son(LI), entonces el vector se caracteriza

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