VECTORES EN EL ESPACIO.

VECTORES EN EL ESPACIO

I.- Dados los vectores A< 4, -2, 4>, B< 2, 7, -1>, C< 6, -3, 0> y D<5, 4, -3> encuentre la proyección de:

a) C sobre A         b) B sobre D        c) A sobre B

Recuerde la ProyCsobreA = [pic 1]

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Observemos los problemas, tenemos que ProyV1sobreV2  puede ser positivo o negativo, será positivo si 0<Ө> ¶ y negativo si Ө>

II Encuentre el producto cruz (vectorial) de los vectores dados: A< -1, 6, 1>, B< -4, 4, 2>

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VECTORES EN EL ESPACIO

TEMA: PLANOS Y RECTAS EN R3

Recordemos que en R2 las gráficas son conjunto de puntos (x, y) que tienen alguna característica o restricción, por ejemplo la recta: L: {(x,y)| y = 5x +3}. Esta es la más simple en R2, es una ecuación lineal.

 En R3 tenemos graficas de ecuaciones que involucran 3 variables, a estas gráficas se le llaman superficies.

La superficie más simple es el plano el cual tiene como ecuación:  Ax + By  + Cz + D = 0 que es una ecuación de primer grado (lineal) en tres variables

La ecuación de un plano se puede determinar si se conoce un punto del plano y la dirección de un vector normal al plano.

Esto es análogo a cómo se encontraba la ecuación de una recta en R2, se conocían un punto y su pendiente o la pendiente y la ordenada etc.

Si P0 (x0, y0, z0) es un punto del plano y es un vector normal al plano, entonces una ecuación del plano es: a(x-x0)+ b(y-y0)+ c(z-z0) = 0

Ejemplo: Determine una ecuación del plano que contiene al punto P(1,3,2) y tiene como vector normal a N=<1,2,-3>

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Así como en R2 teníamos la ec. De la recta definida por ciertos datos, así podemos encontrar la ecuación de un plano dado ciertas características.

Veamos un ejemplo:

Determine una ecuación del plano que pasa por los puntos:

1. P(3,4,1)                Q(1,7,1)        R(-1,-2,5)
2. P(3,2,1)                Q(-4,-1,1)        R(-5,-3,-1)

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Un ángulo entre dos vectores se define como el ángulo entre los vectores normales de los planos.

Dos planos son paralelos si y solo si sus vectores normales son paralelos

Dos planos son perpendiculares si y solo si sus vectores son perpendiculares (ortogonales).

Recordemos que dos vectores son perpendiculares si V1.V2 = 0 en este caso N1 es perpendicular N2 si y solo si N1.N2 = 0 Nota. CosƟ = [pic 2]

Veamos unos ejemplos:

Determine si los siguientes planos son perpendiculares o paralelos, si no son ninguno de los dos, encuentre el ángulo Ɵ

1. 2x-y+z-1= 0

6x-3y+3z-3=0

1. 5x+2y+z-12=0

-2x+5y+3=0

1. 3x-2y+z+10=0

x-y+2z+12

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Rectas en el espacio         

Recordemos que en R2 tenemos rectas que son paralelas a cada una de los ejes coordenados o  x=3, y=-1, x=-4, y=2.   Dibujar la gráfica de cada una de las anteriores

De forma análoga podemos tener rectas en el espacio paralelas a los ejes coordenados:

1. (3,4,z) Como la z es libre entonces la recta es paralela al eje z
2. (x,2,-1) Como la x es libre entonces la recta es paralela al eje x
3. (-2,y,3) Como la y es libre entonces la recta es paralela al eje y

Las rectas en el espacio van a estar determinadas por un punto en el espacio y un vector que nos dará la su dirección.

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