Vigas Estáticamente Indeterminadas

Vigas estáticamente indeterminadas

Una viga estáticamente indeterminada tiene tres o más puntos de apoyo (sean simples, articulados, empotres, etc.), el equilibrio de los momentos y cortantes no puede determinarse solo con ecuaciones de equilibro de las fuerzas en X y en Y ya que tenemos tres o más nodos que transmiten momentos positivos o negativos que hay que equilibrar para obtener un momento resultante.

Tal como se ha visto en el caso de las vigas también surgen situaciones estáticamente indeterminadas (Mayor número de reacciones que ecuaciones, por lo que deberá obtenerse a partir de las deformaciones, ecuaciones adicionales que levanten la indeterminación).

La siguiente viga es estáticamente determinada:

Al hacer el análisis deben calcularse los esfuerzos actuantes máximos y la deformación máxima.

Estos valores deben ser menores que los esfuerzos y la deformación admisibles para que la viga sea segura y funcional. Sin embargo puede suceder que sean mayores (uno de ellos o todos).

En este caso el diseñador debe enfrentar varias alternativas:

a) Cambiar el material (por uno más resistente o más rígido según el caso).

b) Aumentar la sección transversal de la viga incrementando su resistencia y su rigidez, sin cambiar el material.

Sin embargo en muchas ocasiones no es posible cambiar el material o las dimensiones por problemas de disponibilidad de otros materiales o por requerimientos arquitectónicos que no hacen posible cambiar las dimensiones.

En estas condiciones la única alternativa para aumentar la seguridad de la viga y su rigidez será colocar un apoyo adicional intermedio C.

Esta es otra de las ventajas de las vigas estáticamente indeterminadas: Los apoyos redundantes garantizan la estabilidad en caso de fallas. En general, mientras más apoyos redundantes tengan una viga o estructura, más segura será. Lógicamente también tendrá un mayor grado de indeterminación y por consiguiente el análisis será más largo, puesto que involucrara más ecuaciones.

Observemos como se obtiene la ecuación adicional que nos resuelve la indeterminación:

Para resolver el problema empleamos un artificio muy utilizado en ingeniería estructural: Quitamos el apoyo redundante y dejamos que la viga se deforme, luego lo volvemos a poner a actuar revirtiendo la deformación que obviamente será igual a la primera. Para el análisis empleamos el principio de superposición así:

Como en la situación original hay un apoyo en C, allí la de formación será cero. Por este motivo:

Problema 1. Determine los momentos flexionantes y las reacciones verticales en la viga de la figura 4). Tomar EI constante. El apoyo 1 es simple el 2 es empotramiento.

Ecuaciones de momento. Se traza el diagrama de cuerpo libre indicando las reacciones desconocidas y la carga aplicada. Enseguida se plantea la ecuación de momentos y se le integra sucesivamente.

Integrando:

Cálculo de las constantes. La ecuación 1) proporciona la pendiente (dy/dx) en cualquier punto de la viga. El apoyo 2) está empotrado y no tiene pendiente por lo que sustituyendo x = 8 e igualando a cero se tiene:

La ecuación 2) proporciona la flecha (Y) en cualquier punto de la viga. El apoyo 1) es simple y no tiene flecha, por lo que sustituyendo x = 0 e igualando a cero, se tiene: C2 = 0

En la misma ecuación 2) la flecha es cero en x = 8 y sustituyendo C1 logramos obtener una ecuación en función de la reacción V1 la que al resolverse nos da su valor.

V1 = 1500.00 kg

Por equilibrio de fuerzas verticales se obtiene la reacción V2.

V1 + V2 - 500(8) = 0

V2 = 2500.00 kg

Conocidas las reacciones verticales, el momento M2 puede calcularse sumando momentos en el nodo 1) o en el 2) o sustituyendo x = 8 en la ecuación de momentos.

M1 = M2 + 500(8)4 - 2500(8) = 0

M2 = 4000.00 kg.m

Fin del problema.

Vigas Continuas.

Se da el nombre de viga continua a una barra apoyada en más de dos soportes. La figura muestra una viga de este tipo.

Para el análisis de estas vigas existen una gran cantidad de métodos, pero en la mayoría de ellos se consideran los momentos de los nodos como las incógnitas principales, para posteriormente, por equilibrio estático, obtener el resto de las incógnitas.

ANALISIS POR SUPERPOSICION.

El principio de superposición establece que el efecto de un conjunto de cargas que actúa simultáneamente, es el mismo cuando se suman los efectos de cada una de ellas actuando por separado. Bajo este concepto, es posible solucionar una viga continua analizando las rotaciones en los extremos de las barras para las cargas dadas considerando a cada barra simplemente apoyada. Para su aplicación es necesario conocer las formulas de estas rotaciones para vigas simples y cualquier tipo de carga. A continuación se dan las de uso común.

Notación.

Carga Rotación

Extremo Izquierdo Rotación

Extremo Derecho

1.- Carga uniforme.

2.

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