INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL

Son intervalos dentro del cual puede estar el parámetro poblacional desconocido. En este caso es para la Media poblacional “µ”.

1. GRANDES MUESTRAS

[pic 1]

Donde x es la desviación típica o error típico de la distribución de las medias y que es igual a x =  [pic 2][pic 3][pic 4]

[pic 5]

En este caso sx =  Donde s es la desviación típica muestral.[pic 6]

Luego un IC para la media poblacional µ es:

[pic 7]

Un intervalo de confianza está comprendido entre un límite superior de confianza Ls y un límite inferior Li de confianza. Si utilizamos como estimador la media muestral  se deberá sumar y restar una cantidad determinada para obtener los límites. La pregunta es: ¿cuánto se debe sumar y restar? La respuesta depende de la precisión que se desee tener. Supongamos que se quiere un intervalo de confianza del 95%.[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 8]

Hay que determinar un Li y Ls que abarquen el 95% de todos los valores posibles de µ a lo largo del eje.

El valor de z está afectado de un signo + y – porque a la media muestral hay que sumarle y restarle zx. En cualquier caso, dada la situación probable de que la desviación típica de la población sea desconocida, bastará con poner en su lugar la desviación típica muestral, s, y obtener el intervalo.[pic 15]

Ejemplo 1:

Construyamos un IC del 95% para la producción media en toneladas y supongamos que tomamos una muestra n=100 y con una media muestral de  = 112 toneladas. Los datos históricos indican que la desviación típica σ = 50 toneladas.[pic 16]

Entonces:

IC para µ =  ± zx =  ± z[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

= 112 ± z [pic 21]

Ahora buscamos un valor de z, que se busca en la tabla Normal de z. Si el nivel de confianza es del 95%, es necesario dividir 0,95 por 2, por que la tabla z da los valores desde la media hasta un punto por encima (Ls) o por debajo (Li) de la misma. Por lo tanto, 0,95/2 = 0.4750. Ahora buscamos en el cuerpo principal de la tabla Z el área de 0,4750. Una vez localizada, vemos que valor de z correspondiente es 1,96. Luego completamos la fórmula:

= 112 ± 1.96  = 112 ± 9.8 [pic 22]

102.2 < µ < 121.8 toneladas.

Se puede extraer dos inferencias sobre la población:

1. Tener el 95% de confianza en que la población media diaria toneladas se sitúa entre 102,2 y 121.8 toneladas.
2. Saber que el 95% de todos los intervalos de confianza formados por este método incluyen el verdadero valor de µ.

Ejemplo 2:

El director financiero de una empresa fabricante quiere analizar el valor de mercado de empresas del mismo sector y de similar tamaño. EL valor de mercado se establece por el número de acciones en circulación multiplicado por la cotización de una acción en la bolsa. El resultado de este análisis influiría en la decisión de la empresa de emitir más y nuevas acciones. Una muestra de tamaña n= 600 empresas, revela que la desviación típica de la población es de 200 millones de dólares y el valor medio en el mercado es 850 millones de dólares. Determinar un intervalo de confianza del 95% referido al valor medio de mercado de todas las empresas del tamaño considerado.

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