INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES

1. CON VARIANZAS CONOCIDAS

Sean

[pic 1]

X1 y

[pic 2]

X 2 las medias de dos muestras aleatorias independientes de tamaños n1

y n2

seleccionadas respectivamente de dos poblaciones con medias μ1 y μ2 desconocidas.

Suponemos que las varianzas        2        2 son conocidas. Este hecho se justifica por datos

σ

σ

y

1

2

históricos, o por estudios estadísticos similares, o por su estimación puntual insesgada dadas

respectivamente por S 2 y S 2 calculada de las muestras siempre que sea grande.

1

1

[pic 3]        [pic 4]

Si las dos poblaciones son Normales: entonces

X1 y

X 2 tienen distribuciones respectivas

σ 2        σ 2

normal N (μ1, 1 ) y normal N (μ1, 2 ) (para n1 ≥ 2 y n2 ≥ 2 ).

n1        n2

En consecuencia por la propiedad reproductiva de la normal, la estadística[pic 5][pic 6]

X1 − X 2

tiene

N (μ − μ

σ 2        σ 2

1    +        2

[pic 7]        [pic 8]

distribución normal

1        2 ,

) .

n1        n2

Si las dos poblaciones no son normales,        pero n1

y n2

son tamaños de muestras

suficientemente grandes ( n1 ≥ 30 y n2 ≥ 30 ), entonces por el teorema del límite central, la

−        N (μ − μ

[pic 9][pic 10]

σ 2        σ 2

1    +        2

[pic 11]        [pic 12]

estadística X1

X 2 es aproximadamente normal

1        2 ,

) .

n1        n2

Por lo tanto, en cualquier de los dos casos, la variable aleatoria estándar Z definida por:[pic 13]

σ

2

1

σ

2

n1        n2

+

2

Z = X1 − X 2 − (μ1 − μ2 )[pic 14][pic 15]

σ x − x[pic 16][pic 17]

1 2

Donde

σ x1 − x2 =

Tienen distribución exactamente o aproximadamente normal. N (0;1) .[pic 18][pic 19]

La variable Z resultante, es la estadística del pivote que se aplica para determinar el intervalo

de confianza de

μ1 − μ2 en este caso, ya que esta depende sólo de valores de las muestras y

del parámetro único

μ − μ ya que las varianzas σ 2 y σ 2 son conocidas de algún modo

1        2        1        2

dado el nivel de confianza 1−α , en la distribución de Z se ubica el valor Z

1−

α

de manera

que:

P[−z ≤ Z ≤ z] = 1−α

sustituyendo

Z = X1 − X 2 − (μ1 − μ2 )

σ x − x[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

1 2

2

y        operando

adecuadamente, resulta.

[pic 25]        [pic 26]        [pic 27]        [pic 28]

P[( X1 − X 2 ) − (Z α )(σ x −x ) ≤ μ1 − μ2 ≤ ( X1 − X 2 ) + (Z α )(σ x −x )] = 1−α

1−        1      2        1−        1 2[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

2        2

Intervalos de estimación de μ1 − μ2

−Z α[pic 33]

1−α

0         Z   α        Z

[pic 34]

(1− ) 2[pic 35]

X1 − X 2

(1− )                     

X1 − X 2

2

a        b

Intervalo de μ1  − μ2[pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

Si se desconocen las varianzas, entonces se hace muestra sea d3e tamaño grande.

1        1

Ejemplo 01

σ 2 = S 2

σ 2 = S 2 siempre que cada

Un consumidor de cierto producto quiere aplicar la técnica de estimación estadística para decidir si comprar la marca A o la marca B del producto. Para esto va a estimar la diferencia entre los tiempos de vida promedio de las dos marcas del producto.

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