Las Personas

INDICE

Introducción…………………………………………………………………….. 4

Análisis dimensional………………………………………………………….. 5

Condición de homogeneidad……………………………………………….. 8

Teorema π de Buckinham……………………………………………………. 9

Leyes de semejanza…………………………………………………………. 13

Semejanza de Froude……………………………………………………….. 14

Semejanza de Reynolds……………………………………………………. 15

Semejanza de Mach…………………………………………………………. 16

Bibliografía…………………………………………………………………… 17

INTRODUCCIÓN

El análisis dimensional28es la herramienta metodológica que permite estudiar sistemas empíricos en los que intervienen magnitudes físicas.

Fundamentalmente tiene tres funciones: asegurar la legitimidad de la metrización derivada, detectar errores en los cálculos científicos (producto de sustituciones entre magnitudes o cambios de unidades de medida) y posibilitar el diseño de modelos a escala (geométrica y dinámicamente iguales al prototipo). La función del análisis dimensional que interesa a este trabajo es la primera.

En el capítulo anterior, habíamos llegado a la conclusión de que para el manejo del contenido métrico-operacional de las magnitudes derivadas debemos poder distinguir, de entre las diferentes formas de metrización derivada, la metrización derivada por definición. En esta formade metrización, el significado físico de la magnitud metrizada puede ser determinado a partir de los significados físicos de las magnitudesintervinientes en la metrización. En este sentido decíamos queel significado físico de una magnitud derivada por definición puede ser interpretado a partir de su contenido métrico-operacional.

Comencemos viendo de qué manera el análisis dimensional cumple con la

función de asegurar la legitimidad de la metrización derivada y, a partir de ello, consideraremos si este método es adecuado para manejar el contenido métrico-operacional de este tipo de metrización.

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El desarrollo de este método se asocia a Lord Rayleigh (1842-1919) y se considera que el matemático y

físico francés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) fue pionero en el análisis dimensional. El físico español Julio Palacios contribuyó considerablemente al desarrollo del análisis dimensional con su obra

Análisis dimensional(Espasa-Calpe, Madrid, 1964).  

El análisis dimensional. Nociones Básicas

Debido al proceso de medición, la metrización de una propiedad física, esto es, su transformación en una magnitud, le adjudica cierta(s) unidad(es) de medida. La unidad que corresponde a la nueva magnitud depende de la ecuación que la introduce dentro del sistema de magnitudes del que entra a formar parte. Así, por ejemplo, si las unidades de nuestras magnitudes base son centímetro cm, gramo g, segundo s(sistema cgs), e introducimos dentro del sistema de magnitudes mecánicas la magnitud de presión P, a través de la fuerza F y la superficie S, según P= F/ S, entonces, las unidades de medida de P se deducirán de esa ecuación. Como hemos considerado el sistema cgs para la base, por consiguiente:

F(dina)/(S(〖cm〗^2))=P(dina ∙〖cm〗^(-2))

En este sistema de unidades, la unidad de presión no recibe un nombre especial. Sin embargo, como una misma magnitud puede tener unidades diferentes en dos sistemas de unidades, si estuviésemos en el sistema SI, la presión se mediría en la unidad pascal (equivalente a Newton•m-2) Si no damos ningún nombre especial a ninguna de las unidades de magnitudes derivadas, comprobamos que la presión se mide en:

(F(g∙cm∙s^(-2))/(S(〖cm〗^2))=P(g∙〖cm〗^(-1)∙S^(-2))

Para relacionar entre sí las magnitudes sin que intervengan las unidades en las que se expresan en los diferentes sistemas, se aplica a las magnitudes físicas el concepto de dimensión, que hace referencia a su la naturaleza cualitativa.

En nuestro ejemplo, si cambiamos la nomenclatura en las unidades de la presión, y en vez de g,cm,s escribimos las siglas de los nombres de sus magnitudes correspondientes M, L, T (masa, longitud, tiempo), obtenemos sus dimensiones, a saber ML-1T-2. Lo mismo ocurriría si expresáramos de esta manera la unidad de presión “pascal”, pues 1pascal=1kg•1m-1•s-2= ML-1T-2. Por consiguiente, se puede hablar de la dimensionalidad únicamente en relación a un sistemade unidades de medida (Sedov, 1982).

Las dimensiones expresan, por lo tanto, la dependencia de la unidad de medida de una magnitud respecto de las unidades de medida de las magnitudes fundamentales. En virtud de ello, formalmente, la ecuación dimensional de cualquier magnitud física A tiene la forma:

dim(A) =[A] =Mm•Ll•Tt…•Xx

Donde M,L,T,...,X son los símbolos de las magnitudes establecidas como base (masa, longitud, tiempo, etc.) y m,l,t,...,x son los índices de dimensión; números reales enteros o fraccionados, positivos o negativos. Los símbolos de las magnitudes base son a su vez los símbolos de su dimensión, por lo tanto, la ecuación dimensional de una magnitud base contiene, por definición, un único elemento:

“Se ha adoptado que la dimensión de una magnitud básica respecto a sí misma es igual a la unidad y no depende de otras magnitudes; entonces la fórmula dimensional de la magnitud básica coincide con su símbolo”

(Prójorov 1995, p.44).

Tomando como punto de partida ciertas magnitudes base (dimensiones base) y disponiendo de un sistema de magnitudes con ecuaciones de definición, se puede comenzar a analizar dimensionalmente las magnitudes derivadas. Es muy importante destacar que para que el análisis dimensional sea aplicable a una teoría, es condición previa y necesaria que ésta disponga de un sistema de magnitudes. La relación cuantitativa en la que se encuentran las dimensiones de la magnitud derivada está ligada indisolublemente a sus relaciones métricas con otras magnitudes (dentro de un sistema de magnitudes dado). Por lo tanto, la dimensión es una característica de carácter relacional.

Condición de homogeneidad dimensional

Para asegurar la legitimidad de la metrización derivada, el análisis dimensional impone una condición a todas las ecuaciones de magnitudes, a saber: la igualdad dimensional entre ambos lados dela ecuación. De acuerdo con esta condición de homogeneidad dimensional, si una ecuación expresa correctamente la relación entre las magnitudes intervinientes en un proceso físico, debe ser dimensionalmente homogénea, esto es, sus miembros deben tener las mismas dimensiones.

Efectivamente, los lados derecho e izquierdo de cualquier ecuación física deben ser dimensionalmente idénticos. Por ejemplo, si expresamos P= F/S como P=mv/St (donde mes masa, v velocidad y t tiempo) y queremos comprobar si esta última ecuación es correcta, no tenemos más que comprobar su homogeneidad dimensional. Sabemos que [P]=ML -1T-2 y obtenemos que [mvS -1t-1]=MLT-1•L-2•T-1= ML -1T-2, por lo tanto, se concluye que P= mv/St es correcta.

La homogeneidad dimensional está también directamente relacionada con las unidades de medida. Como lo expresan Mosterín y Torreti (2002, p.32):

“Las cantidades cuya igualdad aseveran las ecuaciones de la física frecuentemente son cantidades dimensionales; en tal caso, la cantidad que figura al lado izquierdo de una ecuación y la que figura al lado derecho tienen necesariamente la misma dimensión (si el lado izquierdo es una energía y se mide en joules, el lado derecho no puede ser una diferencia de potencial y medirse en voltios)”.

Gracias a esta relación entre dimensiones y unidades, el análisis dimensional es también un método que asegura la validez de una ecuación frente a cualquier cambio de unidades en sus magnitudes. Como consecuencia, los diferentes sistemas de unidades son “traducibles” entre sí. Es lo que hemos visto más arriba en el ejemplo de la magnitud de presión expresada

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