Geometria Analitica

PARÁBOLA CON VÉRTICE (h,k) FUERA DEL ORIGEN

Parábola Horizontal con Vértice V(h,k) fuera del origen, eje de simetría paralelo al de coordenadas X, y cuyo Foco está a una distancia p del vértice y a la derecha de él.

Como la distancia PF = distancia PM = Ecuación de la Directriz, tendremos:

Elevando al cuadrado ambos miembros:

[X - (h + p)]2 + (y - k)2 = [X - (h - p)]2

Desarrollando y simplificando

X2 - 2X(h + p) + (h + p)2 + (y - k)2 = X2 - 2X(h - p) + (h - p)2

X2 - 2X(h + p) + h2 + 2hp + p2 + (y - k)2 = X2 - 2X(h - p) + h2 - 2hp + p2

X2 - 2Xh - 2Xp + h2 + 2hp + p2 + (y - k)2 = X2 - 2Xh + 2Xp + h2 - 2hp + p2

-2Xp + 2hp + (y - k)2 = 2Xp - 2hp

(y - k)2 = 2Xp - 2hp - 2Xp + 2hp

(y - k)2 = 4Xp - 4hp

(y - k)2 = 4p(X - h)

Si desarrollamos la ecuación anterior, se obtiene:

y2 - 2yk + k2 = 4xp - 4hp

y2 - 2yk + k2 + 4hp - 4xp = 0

Si D = -2k, E = - 4p, F = k2 + 4hp, se obtienen la fórmula:

y2 + Dy +Ex + F = 0

Análogamente como en el caso anterior:

PF = PM, se tiene:

Elevando al cuadrado ambos miembros:

X2 - 2X(h - p) + (h - p)2 + (y - k)2 = X2 - 2X(h + p) + (h + p)2

Desarrollando los binomios y simplificando:

X2 - 2Xh + 2Xp + h2 - 2hp + p2 + (y - k)2 = X2 - 2Xh - 2Xp + h2 + 2hp + p2

2Xp - 2hp + (y - k)2 = - 2Xh + 2hp

(y - k)2 = - 2Xp + 2hp + 2hp - 2Xp

(y - k)2 = -4p(X - h)

Otra forma de la ecuación es:

y2 + Dy + Ex + F = 0

Parábola Vertical de Vértice V(h,k) fuera del Origen, eje de simetría paralelo al eje Y, y cuyo Foco está a una distancia p del Vértice:

Aplicando la PF= PM = Ecuación de la Directriz:

Elevando al cuadrado y simplificando:

(X - h)2 + [y - (k + p)]2 = [y - (k - p)]2

(X - h)2 + y2 - 2y(k + p) + (k + p)2 = y2 - 2y(k - p) + (k - p)2

(X - h)2 + y2 - 2yk - 2yp + k2 + 2kp + p2 = y2 - 2yk + 2yp + k2 - 2kp + p2

(X - h)2 - 2yp + 2kp = 2yp - 2kp

(X - h)2 = 2yp - 2kp + 2yp - 2kp

(X - h)2 = 4yp - 4kp

(X - h)2 = 4p(y - k)

Desarrollando el binomio y simplificando la ecuación anterior se tiene:

X2 - 2xh + h2 = 4yp - 4kp

X2 - 2xh + h2 - 4yp + 4kp = 0

Haciendo D = -2h, E = -4p, F = 4kp + h2, se obtiene la ecuación:

X2 + Dx + Ey + F = 0

*Parábola Vertical de Vértice V(h,k) fuera del Origen, eje de simetría paralelo al eje Y, y cuyo foco está a una distancia p del vértice y debajo de él.

Como PF = PM = Ecuación de la Directriz se tiene:

Elevando al cuadrado y simplificando:

(X - h)2 + [y - (k - p)]2 = [y - (k + p)]2

(X - h)2 + y2 - 2y(k - p) + (k - p)2 = y2 - 2y(k + p) + (k + p)2

(X - h)2 + y2 - 2yk + 2yp + k2 - 2kp + p2 = y2 - 2yk - 2yp + k2 + 2kp + p2

(X - h)2 + 2yp - 2kp = - 2yp + 2kp

(X - h)2 = - 2yp + 2kp - 2yp + 2kp

(X - h)2 = - 4yp + 4kp

(X - h)2 = - 4p(y - k)

Otra forma de las ecuación es:

X2 + Dx +Ey + F = 0

ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN.

Elipse Horizontal con centro en el origen

Para obtener la ecuación general de la elipse:

F'P + PF = 2a

Aplicando la fórmula de la distancia:

Para eliminar los radicales, trasladamos uno de ellos al segundo miembro de la igualdad

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad

Desarrollamos:

x2 + 2xc + c2 + y2 = 4a2 - 4a + x2 - 2xc + c2 + y2

Simplificamos:

4a = 4a2 - 4xc

Dividimos entre 4 ambos miembros de la igualdad e introducimos a al radical:

= a2 - xc

Volvemos a elevar al cuadrado para eliminar el radical

a2(x2 - 2xc + c2 + y2) = a4 - 2a2xc + x2c2

Reduciendo términos semejantes:

a2x2 - x2c2 + a2y2 = a4 - a2c2

Factorizando

x2(a2 - c2) + a2y2 = a2(a2 - c2)

Dividiendo la igualdad entre el producto a2(a2 - c2)

Como a2 > c2 entonces a2 - c2 es positivo, podemos hacer a2 - c2 = b, por consiguiente, la ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen es:

Elipse vertical con centro en el origen.

Para obtener la ecuación general de la elipse:

F'P + PF = 2a

Aplicando

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