Procesos Cognitivos

FUNDAMENTOS DEL CÁLCULO

El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante prestar atención en el baúl de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea.

El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajó con los métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días. Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna.

Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan solo un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, Galileo; Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior.

Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, Galileo; Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de Oresme, Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras. Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe reconocerse que una de las contribuciones previas decisivas fue la Geometría Analítica desarrollada independientemente por Descartes y Fermat.. Sin la contribución de éstos y de muchos otros hombres más, el cálculo de New-ton y Leibniz seguramente no existiría. Su construcción fue parte importante de la revolución científica que vivió la Europa del siglo XVII. Los nuevos métodos enfatizaron la experiencia empírica y la descripción matemática de nuestra relación con la realidad. La revolución científica supuso una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V y XV.

Esta ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos por las importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el Renacimiento y la Reforma Protestante. El Cálculo Diferencial e Integral están en el corazón del tipo de conocimiento, cultura y de sociedad de la que, esencialmente, somos parte.

EL TRABAJO DE D’ALEMBERT, EULER, LAGRANCE PARA LOS FUNDAMENTOS DEL CALCULO.

En 1750, el gran Leonard Euler presenta el primero de los 15 trabajos que dedico a este problema, iniciando así un debate que duro cerca de 50 años y en el que intervinieron la mayoría de los grandes matemáticos de la época. La solución de Euler no diferente técnicamente de la de D’Alembert, aunque si el método de deducción. Partiendo de la posición inicial u(x,0) := f(x) de la cuerda, obtiene geométricamente la solución en la forma

u(x, t) := ½ f(t + x) + ½ f(t − x).

Para Euler, esta ecuación funcional describe totalmente el fenómeno físico y, por tanto, no supone restricción alguna para f. Por tanto, puesto que podemos elegir arbitrariamente la forma inicial de la cuerda (y Euler pone concretamente el ejemplo de una poligonal), f puede ser totalmente arbitraria, “regular y contenida en una cierta ecuación, o irregular y mecánica. “El problema subyacente en esta polémica estriba, en primer lugar, en la noción misma de función, que Euler y D’Alembert utilizaban con el mismo nombre, pero con significados distintos. Un poco más adelante Euler explica la idea que tenían todos los matemáticos de que cualquier función admisible en matemática s podía expresarse como una serie de potencias con exponentes naturales, salvo en un número finito de puntos a

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