ALGEBRA MATRICIAL. TIPOS DE MATRICES
FredyGuatemalaTrabajo27 de Agosto de 2015
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ALGEBRA MATRICIAL
Proporciona una notación concisa y clara para la formulación y resolución de un conjunto de ecuaciones lineales, muchas de las cuales sería casi imposible de plantear con la notación de algebras ordinarias.
Matriz:
Es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Notacionalmente una matriz [pic 1] tiene la forma:
[pic 2]
a11 = aij = i = fila j= columna
Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar transformaciones lineales dadas una base. En este último caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.
TIPOS DE MATRICES
Matriz fila (Vector fila)
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
a = [3 4 6 7 9]
Matriz columna (vector columna)
La matriz columna tiene una sola columna[pic 3][pic 4]
3
2
8
Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
3 4 5 [pic 5][pic 6]
2 3 -2
1 7 6
Matriz rectangular:
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.[pic 7][pic 8][pic 9]
3 4 5 6 8
2 3 -2 0 9
1 7 6 5 4
Matriz escalar: Es un número real cualquiera se denota por K y actúa como factor constante. K = n
Matriz diagonal
En una matriz cuadrada donde su diagonal principal es un numero diferente de cero y de uno, los demás elementos son todos ceros.
3 0 0 [pic 10][pic 11]
0 9 0
0 0 -6
Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
a11 a12 a13 a11 a21 a31[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]
A= a21 a22 a23 At a12 a22 a32
a31 a32 a33 a13 a23 a33
Matriz triangular superior
Matriz cuadrada los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
3 -7 8 [pic 16][pic 17]
0 9 4
0 0 -5
Matriz triangular inferior
Es una matriz cuadrada los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
3 0 0 [pic 18][pic 19]
-5 9 0
8 7 -5
Matriz identidad o unidad
Matriz cuadrada donde los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Los demás son ceros.
1 0 0 [pic 20][pic 21]
0 1 0
0 0 1
Matriz nula
Es aquella donde todos sus elementos n una matriz nula todos los elementos s son ceros.[pic 22][pic 23][pic 24]
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Matriz no negativa
Es una de las más utilizadas en economía, y consiste en que todos sus elementos son positivos.[pic 25][pic 26][pic 27]
6 8 1
4 1 7
5 3 2
Matriz de Leontief
Es no negativa, su característica principal es que la suma de todos los elementos es menor que la unidad.
O sea que Σ [ aij] = < 1
Matriz Estocástica:[pic 28]
Matriz cuadrada no negativa, que tiene la característica de que la suma de sus elementos es igual a 1. Se utiliza en el cálculo de las probabilidades, y en la teoría de las cadenas de Markov.
Matriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada y tiene sus elementos simétricos respecto a su diagonal.
A = AT.[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]
6 8 1 6 8 5
A= 4 1 7 A = AT 4 1 3
5 3 2 1 7 2
Matriz Antisimétrica
En esta la diagonal principal es igual a cero y sus elementos con respecto a la diagonal principal tiene signo contrario.
A = AT.
0 -2 -3 0 2 3[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]
A= 2 0 -1 A = AT -2 0 1
3 1 0 -3 -1 0
Matriz Inversa
Es una matriz cuadrada que al ser multiplicada por la matriz que le dio origen de como resultado una matriz unitaria.
A = AT. [pic 37]
1 2 3 6 -2 -3 1 0 0[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]
A= 1 3 3 -1 1 0 = 0 1 0
1 2 4 -1 0 1 0 0 1
OPERACIONES CON MATRICES
SUMA ALGEBRAICA
Es condición para que dos matrices se puedan sumar y/o restar una de la otra es que sean del mismo orden: es decir que ambas tengan igual número de finas y columnas.
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