ANÁLISIS DE SINCRONIZACIÓN EN BASE AL MODELO DE KURAMOTO

ANÁLISIS DE SINCRONIZACIÓN EN BASE AL MODELO DE KURAMOTO

Edgar Estrada Cruz

Departamento de Ingeniería Electromecánica, ITSOEH Paseo de Agrarismo No. 2000, Mixquiahuala de Juárez, Hidalgo. C.P. 42700. edg_estrada@hotmail.com

Palabras clave: Control No lineal; Osciladores; Estabilidad.

RESUMEN: Un análisis de sincronía de sistemas no lineales físicamente iguales con la capacidad de oscilar a la misma frecuencia en interacción con otros elementos se realiza en términos de su ángulo de fase, y se comprueba midiendo la diferencia de estos, a partir del uso del modelo de Kuramoto y ecuación de campo medio del modelo de Kuramoto.

Se determinan condiciones matemáticas de sincronización en ángulo fase y el análisis de estabilidad en el punto de equilibrio para el caso concreto . Se realiza comprobación experimental de los resultados generados con una plataforma experimental de dos metrónomos, logrando sincronización en ángulo fase. Los resultados pueden ser fácilmente extendidos a  elementos.[pic 1][pic 2]

ABSTRACT: An analysis phase synchronization from nonlinear systems able to oscillate at same frequency with interaction between other elements is done in terms of phase angle, and it is shown as the measured from the difference of angles phase, based the Kuramoto model and equation mean-field of Kuramoto model. Mathematical conditions for synchronizing the phase angle and analysis of stability from equilibrium point for  is determined. The result experimental is done in an experimental platform with two metronomes, it gets synchronization phase angle. The results can easily extended for  elements.[pic 3][pic 4]

INTRODUCCIÓN. Sincronización de objetos oscilando parece suceder de una manera natural, i.e. objetos programados de tal manera que una pequeña interacción entre ellos resultará en un ajuste de sus ritmos. Muchos ejemplos se encuentran en la literatura [1], [2]. Probablemente el primero ejemplo y más recordados fue descubierto por Christiaan Huygens (1629-1695); astrónomo, físico y matemático holandés. Huygens convalecía en su cuarto de una gripe, cuando notó que los dos relojes de péndulo colgados sobre la pared de su dormitorio estaban perfectamente sincronizados.

Huygens llegó a la conclusión que ambos relojes estaban conectados por el único vínculo que existía entre ambos, la pared en la que estaban colgados [3]. Otros ejemplos clásicos de sincronización conocidos son los estudiados por John William Strutt (Lord Rayleigh, 1842-1919) y Balthasar van der Pool (1889-1959). El primero descubrió la sincronización en los sonidos producidos por un órgano [4], y van der Pol estudió el fenómeno de sincronización presente en las oscilaciones eléctricas [5]. En los años 40 científicos rusos, observan que dos rotores montados sobre la misma estructura de vibración de un par de motores asíncronos se sincronizaban bajo ciertas condiciones [6]. El fenómeno observado por Huygens se ha analizado en un número considerable de trabajos [7], [8], [9], [10].

La convalecencia de Huygens en 1665 y sus relojes de péndulo sincronizados fueron la piedra angular sobre la que los científicos modernos edificaron toda una rama de la Matemática aplicada y la Física llamada Teoría de los Osciladores Acoplados, detrás de esto se esconden las ecuaciones capaces de explicar por que actualmente la Luna, orbitando la Tierra, nos muestra siempre la misma cara o por que su periodo de rotación coincide con su periodo de traslación alrededor de la Tierra. Fenómenos similares se dan todo el tiempo en la naturaleza, incluso en dispositivos tan complejos como los seres vivos, lo cual, ha llamado la atención de los biólogos. Por ejemplo, las luciérnagas macho poseen una especie de oscilador natural interno que les permite encender y apagar el proceso bioquímico que genera la luz en su abdomen. Su frecuencia depende de la interacción que se produce con los destellos de otros machos que (eventualmente) se encuentran a su alrededor. Cuando se juntan cientos o miles de estos insectos, todos logran sincronizar sus osciladores internos y emitir los pulsos de luz al mismo tiempo

Animales mucho más avanzados e inteligentes, como el hombre, también se encuentran sujetos a este tipo de sincronización natural, de hecho, el corazón es un caso realmente notable. El tejido cardíaco está formado por ciento de miles de células musculares que tienen la capacidad de oscilar. Si cada una oscilase en su propia frecuencia, el resultado sería un musculo cardíaco inmóvil (las oscilaciones individuales se cancelarían entre sí). Pero, a pesar de que cada una oscila con su propia frecuencia, tal como ocurría con los relojes de Huygens, el acoplamiento mecánico que existe entre unas y otras les permite sincronizar sus oscilaciones de una manera tan precisa, que podemos escuchar su oscilación colectiva como un latido perfectamente de sonido. Lo más impresionante de todo este fenómeno es que resulta (desde el punto de vista matemático), de una complejidad tal que todavía no tenemos herramientas lo suficientemente potentes o elaboradas como para simular o predecir el funcionamiento de varios osciladores acoplados.

Por último, un ejemplo más de sincronización tiene lugar entre dos o más metrónomos mecánicos (sistema autónomo no lineal acoplado) apoyados sobre una plataforma rígida soportada mediante dos rodillos con poca fricción. La sincronización se lleva a cabo si la diferencia de las frecuencias naturales de cada oscilador es pequeña y se encuentran sobre un acoplamiento mecánico que permita transmitir las energía producida por un metrónomo a todos los demás y viceversa.

En los últimos años, se han producido algunos avances que permiten comprender la forma en que se acoplan estos osciladores individuales. Concretamente, el trabajo de investigadores como Charles S. Peskin, Arthur T. Winfree o Yoshiki Kuramoto [11]. En 1960s Winfree observó el comportamiento de una gran colección de osciladores interactuando en ciclos limite, en un intento por modelar la sincronización colectiva de este gran grupo construyó un modelo matemático asumiendo que los osciladores son casi idénticos y que el acoplamiento entre ellos es pequeño [12], [13], [1].

La contribución esta organizada como sigue: en la Introducción se realiza un análisis del modelo de Kuramoto y la ecuación de campo medio para  osciladores, así como el análisis de estabilidad crítica, en la parte de Análisis particular () se determinan.  las condiciones para el caso , esto es, 2 osciladores.[pic 5][pic 6][pic 7]

Un análisis matemático en términos de la sincronía y estabilidad se realiza, simulaciones sobre el caso  se presenta en la parte de Simulaciones. Un análisis experimental se realiza en la parte de Resultados Experimentales, para fines de estudio se usan como elementos a un par de metrónomos. La contribución termina con algunos comentarios finales. [pic 8]

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