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ANÁLISIS FENOMENOLÓGICO DE LAS MATRICES COMO OBJETO MATEMÁTICO


Enviado por   •  12 de Julio de 2018  •  Informes  •  1.887 Palabras (8 Páginas)  •  259 Visitas

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA[pic 1][pic 2]

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR

INSTITUTO PEDAGÓGICO DE BARQUISIMETO

“DR.  LUISBELTRÁN PRIETO FIGUEROA”

ANÁLISIS FENOMENOLÓGICO DE LAS MATRICES COMO OBJETO MATEMÁTICO

Autor:

José Ulises Blanco

Sección: 5MA01

Curso: Álgebra Lineal

Prof.: Ramón Rosendo

Barquisimeto, 2018

ANÁLISIS FENOMENOLÓGICO DE LAS MATRICES COMO OBJETO MATEMÁTICO

Siempre que colocamos un elemento en filas y columnas hacemos uso de una estructura matricial. Cualquier tabla de las que utilizamos en los editores de texto no deja de ser una matriz, ya que está organizada por filas y columnas. Dicho esto podemos decir que Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas. Pero antes de adentrarnos de lleno a la estructura de este objeto matemático es bueno repasar brevemente su historia.

Dicho esto podemos decir que el concepto de lo que es una matriz se comenzó a desarrollar desde hace muchos siglos atrás. Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C. (Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas por Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método matricial para la resolución sistemas de ecuaciones simultáneas.​ En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kōwa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693.

Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kōwa y Leibniz para facilitar la resolución de ecuaciones lineales, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Y más adelante Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX. Pero no fue hasta alrededor de 1850 que James Joseph Sylvester utilizó por primera vez el término matriz.

Además, Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Que una matriz satisfaga su ecuación característica propia es lo que se conoce como el "Teorema de Cayley-Hamilton". Es razonable preguntarse qué tiene que ver esto con Hamilton. En efecto, el también probó un caso especial del teorema, para  matrices de orden (4 x 4), en el curso de sus investigaciones sobre cuaterniones.

No obstante Frobenius, en 1878, escribió un importante trabajo sobre  matrices en “Sustituciones lineales y formas bilineales” cuando él no estaba consciente del trabajo de Cayley. Frobenius trabajaba en su artículo con coeficientes de formas cuadráticas y  no usa el término matriz. Sin embargo probó importantes resultados sobre matrices canónicas como representaciones de clases de equivalencia de matrices. Él menciona a Kronecker (1874)  y Weierstrass  (1868) como casos especiales de sus resultados respectivamente. Frobenius además probó el resultado general de que una matriz satisfaga su ecuación característica. Este escrito de  1878  también contiene la definición del rango de una matriz  el cual  usaba en sus trabajos sobre formas canónicas y la definición de  Matrices Ortogonales.

Una vez aclarado un poco de donde provienen las matrices y cuáles fueron los primeros en trabajar e innovar con estas, podemos pasar a definir el concepto de lo que es un matriz. Una matriz es una colección ordenada de elementos ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales donde cada línea contiene elementos de la matriz. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m por n () donde m y n son números naturales mayores que cero. El conjunto de las matrices de tamaño  se representa como  donde (K) es el campo al cual pertenecen los elementos. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después. Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamaño y las mismas entradas. Por lo general se trabaja con matrices formadas por números reales. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una transformación lineal (dada una base).[pic 3][pic 4][pic 5]

También es importante decir que una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A, B...) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a, b...), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece. Esta forma de denotar la matriz tiene por nombre Notación de Leibniz donde se utiliza un elemento único (a) acompañado de subíndice de 2 números, de manera tal que el primer número indique la fila y el segundo numero la columna. Esta notación se puede ejemplificar de la siguiente manera:

[pic 6]

Asimismo existen diversos tipos de matrices. En general, cuando se habla de una matriz  se está haciendo referencia a una matriz que tiene n filas y m columnas. Esta forma de referirse a las matrices no es más que un convenio y podría variar de un autor a otro. Según esto si una matriz en la que el número de filas es igual al número de columnas () se le da el nombre de Matriz Cuadrada, esto debido a la forma que posee la notación de dicha matriz que es similar al ejemplo ilustrado anteriormente. Además cuando una matriz es cuadrada, esta se representa como  donde (K) es el campo al cual pertenecen los elementos que conforman la matriz. También existe un caso particular de matriz, se define vector fila y vector columna. Un vector fila es cualquier matriz de tamaño  mientras que un vector columna es cualquier matriz de tamaño . Además existen otros tipos de matices denominados matriz opuesta, traspuesta, identidad y nula. Se llama matriz opuesta de un matriz ya determinada a aquella que tiene por elementos los opuestos de los elementos de la matriz original. También se llama matriz traspuesta de una matriz A (representada como ) a aquella matriz cuyas filas coinciden con las columnas de A y las columnas coinciden con las filas de A. Y mientras que una matriz identidad (denotada ) es una matriz cuadrada donde los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto 0. La matriz nula es una matriz donde todos sus elementos son nulos, es decir que el valor de estos es igual a cero.[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

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