Actividad de recuperación Cálculo Diferencial
Enviado por hikaribere0812 • 25 de Noviembre de 2015 • Tareas • 1.663 Palabras (7 Páginas) • 373 Visitas
Actividad de recuperación Cálculo Diferencial
- Elige 3 de los siguientes incisos y determina si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si es verdadera explica por qué. Si es falsa, explica por qué o da un ejemplo que refute la proposición.
a) Si[pic 2]es una función, entonces [pic 3][pic 4]
b) Una recta vertical interseca la gráfica de una función más de una vez.
Verdadero
La prueba de la línea vertical dice que se puede comprobar si una gráfica representa una función comprobar si esta línea vertical interseca a la gráfica cuando mucho en un punto en cualquier coordenada x, entonces la relación es una función. En caso contrario, la relación no es una función.
c) Siempre se puede dividir entre [pic 5][pic 6]
d) Si [pic 7] es continua en[pic 8], entonces [pic 9] es derivable en [pic 10].
Falso
Hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.
Ejemplo:[pic 11]
f(x) = { 0 si x < 0
x si x ≥ 0
f(0) = 0 lim 0 = lim x = 0
x→0- x→0+
La función es continua, por lo tanto podemos estudia la derivabilidad
lim 0 – 0/h = lim 0 = 0
x→0- x→0-
lim 0 + h – 0/h = h/h = 1
x→0-
no coinciden las derivadas laterales no es derivable en x = 1
e) Si [pic 12] es derivable en [pic 13][pic 14], entonces [pic 15] es continua en [pic 16].
verdadero
Como f es derivable en a, se tiene
lım f(x) − f(a) – f´(a)(x − a)/ x – a = 0
x→a
entonces
0 = lım (f(x) − f(a) – f´(a)(x − a)) = lım f(x) − f(a)
x→a x→a
Ası lım x→a f(x) = f(a) y f es continua en a.
f) Si [pic 17] es un punto de la gráfica de una función [pic 18] necesariamente se cumple que [pic 19][pic 20]
- Considera la gráfica de la función [pic 21] que se muestra a continuación.
[pic 22]
A partir de la gráfica, calcula los siguientes límites:
a) [pic 23][pic 24] 0
b) [pic 25][pic 26] x→5- -∞
c) [pic 27][pic 28] 2
d) [pic 29][pic 30] x→2+ -∞
e) [pic 31][pic 32] x→5+ -∞
f) [pic 33][pic 34] x→2- +∞
g) [pic 35][pic 36] 10
- Un automóvil parte del reposo y se mueve a lo largo de una carretera recta. Su posición en cualquier instante [pic 37], está dada por la fórmula:
[pic 38]
a) Calcula la derivada por medio de su fórmula
[pic 39]
cuando [pic 40][pic 41].
s(t + ∆t) – s(t) = [2(t + ∆t)2 + 3(t + ∆t) – 8] – [2t2 + 3t – 8]
s(t + ∆t) – s(t) = 2t2 + 4t∆t + 2∆t2 + 3t + 3∆t – 8 - 2t2 + 3t – 8
s(t + ∆t) – s(t) = 4t∆t + 2∆t2 + 6t + 3∆t – 16
v´(t) = lim 4t∆t + 2∆t2 + 6t + 3∆t – 16/ ∆t
∆t→0
lim 4t + 2 + 6t + 3 – 16/ ∆t
∆t→0
lim 4t + 2 + 6t + 3 – 16 = 4t + 6t – 11
∆t→0
v(t) = 4t + 6t – 11
v(t) = 4(2) + 6(2) – 11
v(t) = 8 + 12 – 11
v(t) = 20 – 11
v(t) = 9
b) Calcula la derivada de la misma función por medio de diferenciales, es decir [pic 42][pic 43]
Paso 1: Obtén [pic 44][pic 45] | s(t + dt) = 2(t + dt)2 – 3(t + dt) - 8 s(t + dt) = 2t2 + 4tdt + 2dt2 – 3t - 3dt – 8 s(x) = 2t2 + 3t – 8 |
Paso 2: Calculamos [pic 46][pic 47] | ds = s(t + dt) – s(t) ds = (2t2 + 4tdt + 2dt2 – 3t - 3dt – 8) – (2t2 + 3t - 8) ds = 2t2 + 4tdt + 2dt2 – 3t - 3dt – 8 – 2t2 - 3t + 8 ds = 4tdt + 2dt2 - 3dt - 6t |
Paso 3: Ahora si aplicamos la regla para operar con diferenciales eliminamos los [pic 48] con potencia mayor o igual a dos, que en este caso el único es [pic 49]y nos queda: | ds = 4tdt + 2dt2 - 3dt - 6t ds = 4tdt - 3dt - 6t |
Paso 4: Dividimos ambos lados de la igualdad entre[pic 50] | ds/dt = 4tdt - 3dt - 6t / dt = 4t – 3 – 6t = -2t - 3 |
...