Algebra lineal 1

[pic 1]

[pic 2][pic 3][pic 4]

Objetivo: Analizar los conceptos básicos de las generalidades de los sistemas de ecuación y métodos de eliminación, con la finalidad de aplicarlos en la resolución de diferentes problemas.

Introducción

El álgebra lineal es un área de las matemáticas que ofrece un lenguaje matemático que va desde los sistemas de ecuaciones lineales, la notación de matrices, los determinantes, las transformaciones lineales hasta los espacios vectoriales. (Grossman, 1996)

El álgebra lineal es un área de las matemáticas muy importante debido a que gracias a ella se establecen modelos matemáticos que contienen sistemas de ecuaciones lineales. En este módulo se mostrará cómo encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales utilizando la eliminación de Gauss y la eliminación de Gauss-Jordan desarrollada por dos grandes matemáticos: Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordán. (Kolman, 1999)

Generalidades de los sistemas de ecuaciones

Las ecuaciones representan una igualdad entre dos expresiones que contienen una o mas variables, tantas variables se necesiten encontrar ese mismo tanto de ecuaciones deberá de existir. (Santos, 2006)

Existen diferentes tipos de ecuaciones y se clasifican de acuerdo con la variable de mayor grado. Una ecuación lineal es una ecuación que tiene variables con grado igual a 1, y no existen multiplicaciones entre variables. Los sistemas de ecuaciones lineales es un conjunto de dos ecuaciones que tienen la misma variable.

Un sistema de ecuaciones es una cantidad determinada de igualdades con determinadas incógnitas, las soluciones se pueden clasificar de las dos siguientes formas, consistente cuando se tiene una solución o un número infinito de ellas y una solución inconsistente cuando un sistema de ecuaciones no tiene solución.

Las ecuaciones lineales se pueden representar de forma rectangular en forma de matriz, donde las filas son horizontales y las columnas verticales. Los sistemas de ecuaciones de acuerdo al valor que toma la constante b se clasifican en:

Sistema de ecuaciones lineales homogéneo, este tipo de ecuaciones tienen una solución que puede ser única o presentar infinitas de soluciones y sistema de ecuaciones lineales no homogéneo, los cuales los valores son diferentes a cero, en este tipo de sistema la solución puede ser única o sin solución.

Método de eliminación

La eliminación de Gauss se utiliza para resolver los sistemas de ecuaciones lineales, ya que consiste en reducir las filas de una matriz aumentada de tal manera que se obtenga una matriz escalonada por filas para despejar el valor de la última variable, con los siguientes pasos:

1. Se escribe el sistemas de ecuaciones en forma de matriz aumentada
2. Se resuelve la matriz para buscar los valores de la diagonal igual a 1 y los valores que se encuentran debajo de ellas sea todos cero.
3. Escribir la matriz escalonada en un sistema de ecuaciones lineales y se sustituye el valor de y con el fin de obtener el valor de la variable de x
4. Se comprueban los valores de las variables en el sistema de ecuaciones lineal.

El proceso de eliminación también se puede usar para resolver un sistema con tres ecuaciones lineales.

La eliminación de Gauss-Jordan, es un método que consiste en reducir una matriz aumentada en una matriz escalonada reducida por coeficientes, con dos métodos que a través de su análisis y desarrollo permiten encontrar la solución de sistema de ecuaciones lineales

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]      [pic 9]     [pic 10]           [pic 11]

[pic 12]            [pic 13]        [pic 14]        [pic 15]

Conclusión

...