ALGEBRA LINEAL - TRABAJO COLABORATIVO GRUPO 1

Trabajo Colaborativo Sistema de Hill

Presentado Por:

Christian Fabián Medina Sánchez – Código: 1521980315

Diego José Cortes Angarita – Código: 1821981567

Politécnico GranColombiano Institución Universitaria

Notas del Autor

Christian Fabián Medina Sánchez, Diego José Cortes Angarita, Ingeniería Industrial Politécnico GranColombiano Institución Universitaria

Este Proyecto Ha Sido Desarrollado Para Entrega Única a la Universidad

Entregado A: Joselín Montealegre

Algebra Lineal

Correo, djcortes06@misena.edu.co, crismedinaky@misena.edu.co

 01 Octubre de 2018

Índice General

ACTIVIDAD 1 3

SISTEMA HILL 3.1

PASO A PASO PARA LA ENCRIPTACIÓN DE LA PALABRA <> 4

ACTIVIDAD 26

Bibliografía9

Notas Importantes…………………………………………………………………………………………………………………… 10

ACTIVIDAD 1

Consultar el sistema de Hill para encriptar y desencriptar mensajes. Luego, describa el proceso (paso a paso) para cifrar la palabra DEDICACION empleando la matriz clave

Y la asignación numérica que aparece en el siguiente recuadro (en él, el símbolo “_” representa el espacio entre las palabras).[pic 1]

SISTEMA HILL

El cifrado de Hill es un sistema de encriptación poli alfabético que funciona con la división de un mensaje en secciones de un volumen determinado y transformando las secciones de forma autónoma en un grupo de letras diferente. Para lo anterior se desarrolla una aplicación del algebra lineal como lo es la multiplicación por matrices. Este sistema de encriptación es poli alfabético al resultar que un mismo carácter en un mensaje sea encriptado en dos caracteres diferentes para el mismo, en su forma encriptada. Lester Hill trato por primera vez este criptosistema en 1929 en “The American Mathematical Monthly”, iniciando de esta forma una de las primeras aplicaciones del algebra lineal en la criptografía. En el año de 1931, volvió a escribir un artıculo sobre el cifrado en otra edición del mismo periódico. Hill, con ayuda de Louis Weisner, tuvieron la idea de construir una máquina que implementase el criptosistema. La llamaron the Message Protector y la patentaron. La máquina operaba con bloques de seis letras y se basaba en un sistema de engranajes y poleas.

En el cifrado de Hill, se asocia cada letra del alfabeto con un número. La forma más sencilla de hacerlo es con la asociación natural ordenada, aunque podrían realizarse otras asociaciones diferentes. Además, también podrán añadirse otros símbolos usuales, como el espacio en blanco “_”, el punto “.” o la coma “,”, la interrogación “?”, las 10 cifras básicas, entre otros.[pic 2]

trabajando con 29 números, a la hora de realizar la encriptación de la palabra DEDICACIÓN, y dado que ésta se realiza con multiplicación de matrices, siempre hay la posibilidad de que exista un dígito mayor de 29 o un número negativo, que evidentemente no están en el módulo 29 para realizar la conversión, para lo cual se deben trabajar las sucesiones de números de forma cíclica, es decir, si obtengo un 29 en la multiplicación de las matrices, éste vendría siendo igual a 0 en el orden del módulo 29, 30 a 1, 31 a 2 y así sucesivamente, y de igual forma con los números negativos en un orden regresivo, donde -1 vendría siendo igual a 28, -2 a 27, -3 a 26 y así sucesivamente. Además de esto, se reducen las operaciones aritméticas elementales (suma, resta, multiplicación y división) al conjunto de los números enteros módulo 29 de forma natural, lo que significa que al hacer cualquiera de estas operaciones entre dos números del conjunto, el resultado debe ser considerado también del conjunto siguiendo la sucesión cíclica o regresiva según sea el caso.

Además de esto y por lo general, en el cifrado de hill se utilizan matrices cuadradas, donde el número N de filas de las agrupaciones de números del mensaje encriptado debe ser igual al número N de filas de la matriz clave.

                 [pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

PASO A PASO PARA LA ENCRIPTACIÓN DE LA PALABRA <>

Se debe tener en cuenta que la palabra a cifrar es: DEDICACIÓN y la matriz clave que nos dan es :  [pic 9]

Asignación Numérica:

Luego de esto, se le asigna a cada letra el valor numérico correspondiente a la asignación numérica enunciada: D=3, E=4, I=8, C=2, A=0, O=15 y N=13. 

Teniendo en cuenta que la matriz clave que nos dan es de 2x2 (dos filas por dos columnas), se realizara la multiplicación, utilizando las letras correspondientes a la palabra DEDICACIÓN, organizadas en pares para ser establecidas como matrices de 2x1 (dos filas por una columna).

, , , , [pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

Es importante resaltar que los pares de números de la palabra DEDICACIÓN, convertidos a su respectivo valor alfanumérico en módulo 29, se deben multiplicar con la matriz propuesta en el ejercicio, realizando multiplicación de matrices, teniendo en cuenta que los pares de números se organizan como términos independientes, estaríamos hablando de matrices 2x1 (dos filas y una columna) por una matriz 2x2:

 =  En módulo 29 [pic 15][pic 16][pic 17]

 =  En módulo 29 [pic 18][pic 19][pic 20]

 = [pic 21][pic 22]

 =  En módulo 29 [pic 23][pic 24][pic 25]

 =  En módulo 29 [pic 26][pic 27][pic 28]

Aquí podemos ver que varias de las multiplicaciones entre matrices dieron como resultado un número por encima del módulo 29, para los cuales se hace la respectiva conversión a módulo 29. Como paso siguiente, los resultados de las transformaciones lineales de las matrices a módulo 29, teniendo un conjunto de números de cifrado de la siguiente manera: 2,4,1,8,2,0,0,8,19,13, los cuales, al ser convertidos en letras usando la asignación numérica respectiva, tenemos el siguiente mensaje cifrado: CEBICAAISN

Para comprobar la encriptación de la palabra podemos realizar el procedimiento para desencriptar un mensaje empleando la inversa de la matriz clave propuesta anteriormente, y multiplicando por los pares de números convertidos a módulo 29, y que dieron como resultado la palabra encriptada:[pic 29][pic 30]

   [pic 31][pic 32][pic 33]

Matriz inversa= [pic 34]

 =  En módulo 29 [pic 35][pic 36][pic 37]

 =  En módulo 29 [pic 38][pic 39][pic 40]

 = [pic 41][pic 42]

 =  En módulo 29 [pic 43][pic 44][pic 45]

 =  En módulo 29 [pic 46][pic 47][pic 48]

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