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Algebra lineal. LIBRO DE ESTRUCTURA


Enviado por   •  9 de Abril de 2017  •  Trabajos  •  18.644 Palabras (75 Páginas)  •  89 Visitas

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INTRODUCCIÓN

El presente libro Fue diseñado en el curso de Estructuras Algebraicas correspondiente al periodo académico 2015- II, para estudiantes de la carrera de la especialidad de Matemáticas de La Universidad Pedagógica Experimental Libertador de Maracay, el mismo contiene los tópicos de Álgebra más relevantes para la formación de los futuros profesores de dicha especialidad, el estudio de las estructuras de Algebra en este caso: Grupos, Subgrupos, Homomorfismo, isomorfismo e epimorfismo. El plan de la obra consiste en dar una exposición de las estructuras, mediante el estudio de sus propiedades más resaltantes con suficientes ejemplos. Esta obra se divide en dos capítulos, cada uno contiene una buena cantidad de ejercicios, los cuales complementan la teoría y permiten tener un manejo práctico de los conceptos y resultados obtenidos en el texto. Esta parte del libro “GRUPOS PARA LA ENSEÑANZA DEL ALGEBRA”, ha sido el producto de reflexiones surgidas después de varios meses de prácticas en las aulas de la Universidad, en donde se ha podido palpar sus aciertos y errores. Muchas conversaciones con colegas de esta y otras secciones donde se ha utilizado el contenido, permitiendo acumular experiencias didácticas sobre la presentación del material, el nivel de abstracción, la incorporación de nuevos problemas y otra serie de detalles que son de importancia para mejorar la obra. Se trata de incluir todos estos aportes para adaptar el texto a las nuevas necesidades docentes. Gracias a la iniciativa del Departamento de Matemáticas de esta casa de estudio, se produce como  “Acceso Abierto al Conocimiento Matemático”.

Se expresa el más profundo agradecimiento al profesor de la cátedra al Dr. Andrés Gonzales además de ser el Jefe Departamento de Matemática Upel – Maracay y a la Profesora María Angélica Martínez, por su generosa colaboración. Así mismo vaya el agradecimiento a los compañeros de curso María Eugenia Olivo, Nelly Flores, Carmen Díaz, Ana Martínez, Eduar Colina, Dilsia Castro por su valiosa ayuda con la conformación del mismo, en el lento trabajo de este material.

CAPÍTULO I

GRUPOS

La estructura de grupo es una de las más comunes en toda la matemática pues aparece en forma natural en muchas situaciones, donde se puede definir una operación sobre un conjunto. Puede ser tan simple en su definición, el concepto de grupo se puede considerar como punto de partida para el estudio de otras estructuras algebraicas más complicadas, como son los cuerpos y los anillos, los cuales no se estudiaran en este contexto.

También se pueden crear nuevos grupos, usando los anteriores, por medio de ciertas operaciones entre ellos. Esto, por supuesto, puede hacer pensar al lector que el estudio de la teoría de grupos es una tarea abrumadora, dada la gran cantidad de grupos que intervienen. Sin embargo existe una relación muy útil que podemos construir entre dos grupos, lo cual permite comparar la estructura de ambos sin hacer consideraciones acerca de la naturaleza misma de los elementos. Este concepto, que juega un papel central dentro de toda esta teoría, es el de isomorfismo de grupos. Si dos grupos son isomorficos, entonces desde el punto de vista del algebra son casi iguales: esto es, poseen la misma estructura. Los grupos aparecieron un poco tarde en la historia de las matemáticas, aproximadamente a mediados del siglo XIX.

El concepto de operación binaria o ley de composición interna aparece por vez primera en la obra del matemático alemán C. F. Gauss en relación a un trabajo sobre composición de formas cuadráticas del tipo:

f(x, y) = a + bxy + c[pic 3][pic 4]

La definición general de grupo, fue dada por Cayley en 1854. Pero es a partir de 1880 cuando comienza a desarrollarse la teoría general de los grupos finitos con los trabajos de S. Lie, Félix Klein y Henry Poincaré. Ahora bien:

Las estructuras algebraicas adaptadas al campo escolar básico están estructuralmente presentes en el lenguaje entendible, de tal manera que las mismas puedan llegar a ser comprendidas por niños, niñas, adolescentes y adultos en una formación básica, media y diversificada, tal es el caso de las operaciones de los números naturales, números enteros, números racionales, números irracionales; así como también lo números complejos, en estas distintas operaciones que se ejecutan en los campos antes mencionados, podemos hablar de la formación de grupos y subgrupos, de acuerdo a las propiedades que definen a cada uno de los campos, entre estas encontramos, las propiedades asociativa, la existencia del elemento neutro, el elemento simétrico y la propiedad conmutativa. Para cada una de ellas de acuerdo a las propiedades que se cumplan, se clasifican en grupos, subgrupos o grupo conmutativo, también llamado grupo abeliano.

También es posible aplicar una didáctica a un conjunto de alumnos, los cuales se toman como un grupo, y del grupo seleccionamos un subgrupo e incluso cada uno de los individuos  que conforman el grupo se define con una característica particular la cual tiene como tarea diferenciar uno de otro, para luego aplicar o trabajar, por ejemplo con los números naturales, las propiedades asociativa, conmutativa, el elemento neutro, el elemento simétrico; es decir, que para tener un grupo debe cumplir con las propiedades antes mencionadas bajo una operación general, definida de una determinada manera con símbolos como por ejemplo: o,+,-, x, y, ó cualquier otro símbolo, aplicada a una serie de elementos perteneciente a un conjunto, el cual se puede simbolizar con letras mayúsculas como: G, H, Q, R.

El conjunto tiene elementos que cumplen una regla, una condición o una restricción, por ejemplo:

M= {X  R̸ f(x) = y}[pic 5]

En el conjunto hay números reales, no son todos los  números reales, esos números deben cumplir la siguiente condición, las imágenes de esos elementos son iguales así mismas.

A= {(x, y) ̸ y = x}[pic 6]

En el conjunto A hay pares ordenados que tienen la propiedad de que su segunda componente es la opuesta de la primera, así que elementos de A pueden ser los pares (1,-1), (3,-3), (-9,9), entre otros; pero una pareja como: (3, -7) no puede pertenecer al conjunto A.

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