Algunas reglas de probabilidad

ALGUNAS REGLAS DE PROBABILIDAD

En estadística llamamos espacio muestral al conjunto de posibles resultados de un experimento o de una observación y usualmente lo representamos por la letra S. Por ejemplo, si el gerente de ventas de una empresa debe escoger a dos de cuarenta y cuatro vendedores para visitar una zona, el espacio muestral esta formado por las

(4 ■(4@2))= 44.43/2= 946 posibles elecciones que tiene el gerente. Si ahora consideramos el número de días que llueve en la región occidental del estado de Tlaxcala durante el mes de julio, el espacio muestral es el conjunto S = {0, 1, 2, 3, …,31}.

Cabe aclarar que en estadística empleamos los términos experimento y resultado en un sentido muy amplio. Por experimento entenderemos cualquier proceso de observación o medición. A si un experimento puede ser el proceso de contar cuantos alumnos de tercero de secundaria en una escuela han fumado mariguana, o el proceso de realizar una encuesta preelectoral para estimar como se integra la próxima cámara de diputados de un estado, o bien procesos muy complejos para obtener datos que permita evaluar el desarrollo de la economía, las causas de algunas enfermedades o el estado de animo de los obreros en una empresa. Los resultados obtenidos en un experimento pueden ser medidos con instrumentos pueden ser contados, pueden ser respuestas ´´ si o no ´´ , o bien, valores obtenidos por medio de operaciones complejas.

Los espacios muestrales se clasifican de acuerdo con el número de elementos o puntos que los conforman. La mayoría de los espacios que hemos estudiado tiene un número fijo de elementos y se les llama espacios finitos. En esta sección solo nos referiremos a este tipo de espacios. A los espacios muestrales con una infinidad de elementos o puntos les llamamos espacios infinitos. Los espacios muestrales infinitos surgen, por ejemplo, al considerar cantidades que son medidas en una escala continua como lo es la cantidad de alcohol en la sangre de una persona, el peso neto de un paquete, etc.

A cualquier subconjunto del espacio muestral se le llama un evento. Un subconjunto de espacio muestral es una parte de el, esto es, cualquier colección de puntos del espacio muestral. Recordaremos que entre todos los subconjuntos debemos considerar al espacio muestral mismo y al conjunto vacio, que denotamos por Ø, no tiene elementos.

Por ejemplo el espacio de los días de lluvia de julio en la parte occidental de Tlaxcala es el conjunto S= {0, 1, 2, 3,…,31}. Tenemos los subconjuntos

A= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6},

B = {20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31},

C = {0, 15, 31},

D = {18, 19, 20, 21, 22, 23, 24},

E = {22}.

A es el evento que llueve a lo mas seis días; B es el evento que llueve cuando menos 22 días; C es el evento que llueva a todos los días del mes, o quince días, o bien, ningún día del mes; D es el evento que llueva entre 18 y 24 días; y finalmente E es el evento que llueva exactamente 22 días del mes.

En muchos problemas de probabilidades debemos considerar eventos que se forman por medio de uniones, intersecciones y complementos. La unión de dos eventos A y B es el evento formado por los elementos o resultados de A, de B o de ambos y se denota por A∪B. La intersección de dos eventos A y B es el evento formado por los elementos o resultado de de que pertenecen tanto a Ᾱ como a B y se denotan por A∩B. El complemento de A, denotado por A, es el evento formado por los elementos o resultados que no pertenecen a A.

Para ilustrar estos conceptos analicemos los eventos

AUD; c) DᴒB e)B; g)DᴒB

BUD; d)AᴒB f)¬D; h)BᴒA

Como AUD es el evento de los resultados que están en A o en D, AUD es por tanto el evento (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24), esto que llueva cuando más seis días, o bien llueva de 18 a 24 días.

BUD= (18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31) es que llueva 18 o más días.

DᴒB es el evento de los resultados que están tanto en D como en B, por lo que DᴒB= (20, 21, 22, 23, 24) representa que llueva de 20 a24 días durante el mes de julio.

Observemos que A y B no tienen elementos o resultados en común de modo que la intersección de A y B es el conjunto vacío, AᴒB=Ф, cuando dos eventos no tienen resultados en común decimos que son mutuamente excluyentes y equivale a que no pueden ocurrir los dos simultáneamente.

B es el evento formado por los resultados que no estén en B así que B= (0, 1, 2, ……….,19) B es el evento que llueva a los 19 días.

Como D = (0, 1, 2, ……, 16, 17, 25, 26, ……30, 31, ) entonces D es el evento de que llueva a los 17 más de 17 días o bien más de 25 días.

Como D= (0, 1, 2, ……16, 17, 25, 26,…….,30, 31) y B= (0, 1, 2,…..,19)

Entonces DᴒB= (0, 1, 2, ….16, 17, 18, 19, 25, 26, …..30, 31).

Como B= (0, 1, 2, ….19) y A= (7, 8, 9, ….31) entonces la intersección BᴒA es el evento (7, 8, 9, …..18, 19, ) que llueva de 7 a 19 días.

Los espacios muéstrales, los eventos y las relaciones entre los eventos son a menudo representados gráficamente, por medio de diagramas de ven como los de las siguientes figuras. En cada caso, el espacio maestral es representado por un rectángulo y los eventos por regiones dentro de un rectángulo, usualmente círculos, elipses o partes de ellos. Las regiones grises de los cuatro diagramas representan el evento X. Su complemento , el evento XUY y el evento XᴒY.

X

X

X Y

X

XUY

X Y

XᴒY

DIAGRAMAS DE VENN

Supongamos que X es el evento de que un cierto alumno que concluyo la secundaria sea admitido al conalep y Y es el evento de que sea admitido a la preparatoria ¿Qué representa las regiones grises de estos diagramas?

La primera región representa que el alumno es admitido al CONALEP la región X representa el evento de que el alumno sea rechazado por el CONALEP la región XUY representa de el evento que el alumno sea aceptado por el CONALEP, o por la preparatoria, o quizás por ambos programas, y la región del ultimo diagrama, XᴒY,

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