Anáisis Numérico

Consideremos una función f(x) de la cual se conoce un conjunto discreto de valores (x0, f0), (x1, f1),...,(xn, fn). El problema que vamos a abordar es el de calcular la derivada de la función en un punto x que en principio no tiene por qué coincidir con alguno de los que figuran en los datos de que disponemos. La forma más sencilla de resolver el problema de la diferenciación numérica consiste en estimar la derivada utilizando fórmulas obtenidas mediante la aproximación de Taylor, que se denominan fórmulas de diferencias finitas. Es importante tener en cuenta que el proceso de diferenciación numérica es inestable. Los errores que tengan los datos, por ejemplo los cometidos en la adquisición de los mismos o los debidos al redondeo aumentan en el proceso de diferenciación como veremos a lo largo de éste capítulo.

Fórmulas de diferencias de dos puntos

Este proceso de paso al límite presenta distintos problemas para ser realizado en situaciones prácticas donde no se conozca la forma explícita de f′(x). En primer lugar un límite no puede calcularse de modo aproximado en un computador donde los números que se manejan son finitos. A pesar de todo es de esperar que si la función f(x) no se comporta mal y h0 es un número finito pero pequeño se cumpla:

Es más, la misma definición de la derivada implica que si f′(x) existe, entonces hay algún h0 a partir del cual nuestra aproximación dista menos de una cantidad δ del valor real para la derivada. El problema es que esto sólo es cierto con precisión infinita ya que h0 puede ser tan pequeño que no pueda representarse en el ordenador o que la diferencia f(x + h0) − f(x) esté seriamente afectada por el error de redondeo.

La ecuación (2.1) es la forma más sencilla de aproximar una derivada conocidas f(x) y f(x+h0). El siguiente teorema nos proporciona información sobre la precisión de esta aproximación.

Teorema. Sea f(x) ∈ C1 (a, b) y existe f′′(x) en (a, b), entonces se cumple que:

Demostración. Escribamos la aproximación de Taylor para la función en un punto x+h:

Reordenando la expresión anterior queda demostrado el teorema.

El teorema anterior nos indica que el error cometido al aproximar la derivada primera por su fórmula de diferencia adelantada es una función lineal de h. Cuanto menor sea h (o sea al tomar valores de f(x) más cercanos) la derivada numérica será más precisa. Este error se denomina error de truncación o discretización y puede acotarse fácilmente, obteniéndose que: E ≤ máx(x,x+h) |f′′(z)|. En realidad, para datos obtenidos a partir de una tabla esta acotación no es de gran utilidad directa ya que si no se conoce la derivada primera menos aún se conocerá la segunda pero al menos nos permite conocer el orden de aproximación de la fórmula.

Geométricamente el error O(h) procede del hecho de aproximar la derivada

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