Análisis De Rama

TERMINOLOGÍA

Hasta el momento, todos los circuitos que hemos presentado eran circuitos planares, es decir, circuitos que pueden dibujarse en un plano sin que ninguna de las ramas se cruce. Los circuitos que se dibujan con ramas cruzadas siguen considerándose planares si pueden redibujarse sin que ninguna rama se cruce. Por ejemplo, el circuito mostrado en la Figura 5.1a puede redibujarse como se muestra en la Figura 5.1b; ambos circuitos son equivalentes, ya que se mantienen todas las conexiones de los nodos. Por tanto, la Figura 5.1a es un circuito planar, ya que puede ser redibujado de dicha forma. La Figura 5.2 muestra un circuito no planar; este circuito no puede redibujarse de manera que se mantengan todas las conexiones de nodo y que ninguna de las ramas cruce a otra. El método de las tensiones de nodo es aplicable tanto a los circuitos planares como a los no planares, mientras que el método de las corrientes de malla está limitado a los circuitos planares.

Figura 5.1 (a) Un circuito planar. (b) El mismo circuito redibujado para verificar que es planar.

Figura 5.2 Un circuito no planar.

Al inicio de curso se definió el concepto de elemento de circuito ideal básico. Cuando se interconectan

elementos de circuito básicos para formar un circuito, la interconexión resultante queda descrita en términos de nodos, caminos, ramas, lazos y mallas. Vamos a volver a enunciar aquí dichas definiciones y definiremos los términos adicionales de camino y malla. Por comodidad, presentamos todas estas definiciones en la Tabla 5.1 , que incluye también ejemplos de cada definición, tomados del circuito de la

Figura 5.3.

Nota: Anteriormente en el curso se definió rama como un elemento único. Sin embargo, en la literatura de la materia suelen encontrarse divergencias con respecto a esta definición. A partir de este punto, consideraremos la definición de rama proporcionada por la Tabla 5.1, la cual coincide en general con la anterior definición.

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Ejemplo Identificación de nodos, ramas, mallas y lazos.

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NUMERO DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS

El número de valores de corriente desconocidos en un circuito es igual al número de ramas, b, en las que no se sabe el valor de la corriente. Por ejemplo, el circuito mostrado en la Figura 5.3 tiene nueve ramas en las que desconocemos la corriente. Recuerde que debemos tener b ecuaciones independientes para resolver un circuito con b corrientes desconocidas. Si designamos como n el número de nodos de un circuito, podemos obtener n - 1 ecuaciones independientes aplicando la ley de Kirchhoff de las corrientes a cualquier conjunto de n - 1 nodos. (La aplicación de la ley de las corrientes al nodo n-ésimo no genera una ecuación independiente, ya que esta ecuación puede deducirse a partir de las n - 1 ecuaciones anteriores. Puesto que necesitamos b ecuaciones para describir un circuito dado y puesto que podemos obtener n - l de estas ecuaciones aplicando la ley de Kirchhoff de las corrientes, deberemos aplicar la ley de Kirchhoff de las tensiones a los lazos o mallas para obtener las restantes b-(n - 1).

Estas observaciones son también válidas en términos de nodos esenciales y ramas esenciales. Así, si representamos mediante ne , el número de nodos esenciales y mediante be , el número de ramas esenciales en las que la corriente es desconocida, podemos aplicar la ley de Kirchhoff de las corrientes a ne - 1 nodos y la ley de Kirchhoff de las tensiones a be - (ne - 1) lazos o mallas. En los circuitos, el número de nodos esenciales es inferior o igual al número de nodos y el número de ramas esenciales es inferior o igual al número de ramas. Por tanto, a menudo resulta conveniente utilizar nodos esenciales y ramas esenciales cuando se analiza un circuito, ya que entonces hay que resolver un sistema con un menor número de ecuaciones independientes.

Un circuito puede estar compuesto por partes desconectadas. Los enunciados relativos al número de ecuaciones que pueden derivarse de la ley de Kirchboff de las corrientes, n - 1, y de la ley de las tensiones, b - (n - 1), se aplican a los circuitos conectados. Si un circuito tiene n nodos y b ramas y está compuesto de s partes, la ley de las corrientes puede aplicarse n - s veces, y la ley de las tensiones b - n + s veces. Dos partes separadas cualesquiera pueden conectarse mediante un único conductor. Esta conexión hace siempre que se forme un único nodo a partir de otros dos. Además, no existe corriente en ese único conductor, de modo que cualquier circuito formado por s partes desconectadas siempre puede reducirse a un circuito conectado.

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Problema 5.1

Para el circuito mostrado en la Figura 5.4, indique el número de (a) ramas, (b) ramas en las que no se conoce la corriente, (c) ramas esenciales, (d) ramas esenciales en las que no se conoce la corriente, (e) nodos, (f) nodos esenciales y (g) mallas.

Figura 5.4

Solución:

a) 11 ramas, 8 ramas con resistencia, 2 con fuentes independientes y 1 con fuente dependiente.

b) La corriente se desconoce en todas las ramas, excepto en la de la fuente de corriente de 8 A, por lo que la corriente se desconoce en 10 ramas.

c) 9 ramas esenciales: R4 - R5 forman una rama esencial, R8 - 10 V también. Las restantes siete ramas son ramas esenciales que contienen un solo elemento.

d) La corriente se conoce únicamente en la rama esencial que contiene la fuente de corriente y se desconoce en las 8 ramas esenciales restantes.

e) Hay 6 nodos, tres identificados por las cajas rectangulares, dos identificados por puntos negros simples, y uno identificado mediante un triángulo.

f) Hay 4 nodos esenciales, tres identificados con las cajas rectangulares y uno identificado con un triángulo.

g) Una malla es como un marco de ventana, se puede ver que en la figura hay 6 mallas.

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Problema 5.2

Basados en el circuito de la Figura 5.5, responda lo siguiente:

a) ¿Cuántas partes separadas tiene el circuito?

b) ¿Cuántos nodos?

c) ¿Cuántas ramas hay?

d) Suponga que el nodo inferior de cada parte del circuito se une mediante un conductor. Repita los cálculos de los apartados (a) - (c).

Figura 5.5

Solución:

a) Como se puede ver, el circuito tiene 2 partes separadas.

b) Hay 5 nodos: los cuatro puntos negros y el nodo entre la fuente de voltaje y la resistencia R1.

c) Hay 7 ramas, cada una conteniendo uno de los 7 componentes del circuito.

d) Cuando los nodos inferiores de las partes separadas se interconectan, se obtiene un circuito de una sola parte. Ahora se tienen 4 nodos, porque los dos nodos inferiores se unen en un solo nodo. El número de ramas se mantiene en 7, donde cada rama contiene uno de los siete componentes individuales del circuito.

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Ejemplo Ilustración de la técnica sistemática

1 Se hablará más sobre esta decisión posteriormente

Si se intenta obtener otra ecuación, por ejemplo sumando la corriente en el n-ésimo nodo (g, en este ejemplo), resulta

Se puede demostrar que la ecuación (5.4) no es independiente, porque podemos deducirla sumando las ecuaciones (5.1) y posteriormente multiplicando la suma por -1.

METODO DE LAS TENSIONES DE NODO

Se presenta el método de las tensiones de nodo utilizando los nodos esenciales del circuito. Los pasos a seguir, son los siguientes:

1. Se hace un dibujo claro del circuito, de manera que ninguna rama se cruce con otra, y se marcan los nodos esenciales del circuito (ver Figura 5.7). Este circuito tiene tres nodos esenciales (ne = 3); por tanto, necesitamos dos (ne - 1) ecuaciones de tensión para describir el circuito.

Figura 5.7 Circuito utilizado para ilustrar el método de las

tensiones de nodo para el análisis de circuitos.

2. Se selecciona uno de los nodos esenciales como nodo de referencia. Aunque, en teoría, la elección es arbitraria, en la práctica la elección del nodo de referencia suele resultar obvia. Por ejemplo, una buena elección es el nodo que tenga mayor número de ramas. La elección óptima del nodo se volverá evidente con la experiencia. En este ejemplo, se tomará el nodo inferior como nodo de referencia. Se etiqueta el nodo de referencia como se indica a continuación:

Figura 5.8 El circuito de la Figura 5.7 con un nodo de referencia y las tensiones de nodo.

3.

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