La teoría de los conjuntos es hoy día, básica en el estudio de casi todas las ramas de las matemáticas: teoría de probabilidades, análisis matemático, circuitos eléctricos, lógica matemática, etc.
Enviado por Manuel Garay Silva • 26 de Septiembre de 2016 • Apuntes • 6.592 Palabras (27 Páginas) • 360 Visitas
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La teoría de los conjuntos es hoy día, básica en el estudio de casi todas las ramas de las matemáticas: teoría de probabilidades, análisis matemático, circuitos eléctricos, lógica matemática, etc.
El establecimiento de la teoría de los conjuntos se atribuye a Georg Ferdinand Cantor (1845 – 1918).
El concepto de “conjunto” no se define en forma precisa. Para explicar lo que se entiende por conjunto, se da la idea intuitiva:
Un conjunto es una colección o agregado de objetos, bien definidos, los cuales deben poseer una propiedad o atributo característico que no deje lugar a duda si dicho objeto pertenece o no a la colección.
Ejemplos: Los expresidentes de la República Mexicana; otro ejemplo de conjunto, podría ser el de los números primos mayores que 18 y menores que 211, etc.
Obsérvese que no se exige homogeneidad. Cada objeto definido en un conjunto dado se denomina “elemento” del conjunto.
Los elementos de un conjunto pueden quedar definidos al enumerar éstos; por ejemplo: el conjunto constituido por los tres números: 2, 5, 9; etc.
Puede, en otros casos, distinguirse los elementos de un conjunto, citando una propiedad común a todos ellos; por ejemplo: el conjunto de los números pares.
De lo anterior se infiere que los conjuntos pueden tener un número finito ó infinito de elementos.
Notación: Se acostumbra designar los conjuntos con letras mayúsculas. Los elementos de un conjunto se distinguen con letras minúsculas. |
Cuando un conjunto queda definido al enumerar sus elementos, se escribe:
A = { a, e, i, o, u } = { e, u, a, o, i }
B = { 2, 5, 9 } = { 2, 9, 5 } = { 9, 5, 2 } ; etc.
Para indicar que el elemento 5 está en el conjunto B se anota: [pic 1]
Si un elemento no está en el conjunto dado, se anota: [pic 2]
Cuando el conjunto se define expresando una propiedad común de todos sus elementos, se emplea una línea vertical “|” ( ó a veces “:” ) cuyo significado es “tal que”.
Ejemplos:
C = { x | x > 25 }
D = { [pic 3] | [pic 4] es un libro de la biblioteca nacional }
- Diagramas de Venn (o de Euler) y sus aplicaciones
Son esquemas en los cuales los conjuntos se representan como áreas planas.
[pic 5]
Dentro del estudio de la teoría de la probabilidad los conjuntos juegan un papel preponderante, ya que el objeto de estudio es una colección de hechos cuya característica común es el ser posibles resultados de un mismo experimento.
Aunque el estudio de los conjuntos no es propiamente del área de la probabilidad, sino más bien le corresponde al álgebra, se consideró conveniente hacer un repaso breve de algunos conceptos de la teoría de conjuntos, los cuales serán de utilidad en nuestro estudio futuro.
1.2. Álgebra y operaciones con conjuntos
DEFINICIÓN: Un conjunto es una colección de objetos que tienen alguna característica en común[1]. |
Ejemplo 1
Considere el conjunto de las personas mexicanas mayores de edad. Las características comunes de los elementos de este conjunto son:
- Todos son personas.
- Todos son mexicanos.
- Todos tienen 18 o más años de edad.
Ejemplo 2
El conjunto de los vertebrados. Las características comunes de los objetos de este conjunto son:
- Todos pertenecen al reino animal.
- Todos tienen vértebras
Nótese que pueden ser animales irracionales o seres humanos.
DEFINICIÓN: Un objeto que tiene las características que definen al conjunto A se llama elemento de A[2]. |
Ejemplo 3
Considere el conjunto A que consta de todos los colores básicos del espectro de colores. El verde no es elemento de A ( verde [pic 6] A ) y el azul sí es elemento de A, esto es azul [pic 7]A .
Existen dos formas de definir un conjunto:
- Por extensión: enumera, entre llaves, todos los elementos del conjunto.
- Por comprensión: define la(s) propiedad(es) que caracteriza(n) a los elementos del conjunto.
Ejemplo 4
Definamos el conjunto A como sigue:
Por comprensión:
A = { Las cualidades deseables en una persona }.
Por extensión:
A = { presencia, inteligencia, capacidad de trabajo, buenos sentimientos, gracia, carácter agradable, responsable}.
Sin embargo, no siempre es posible utilizar ambas formas de definición de un conjunto. En ese caso, se utiliza la que sea posible.
Ejemplo 5
Sea el conjunto P que contiene a todos los puntos en ℜ2 que pertenecen al círculo de radio 1 y centro en el origen.
Por extensión: No es posible definir al conjunto de esta manera, ya que tiene una infinidad de elementos.
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