Aplicaciones De La Derivada

DERIVADAS Y SUS APLICACIONES.

Concepto de derivada de una función en un punto (x=a) de su dominio f’(a):

Es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a,f(a)).

Se utiliza como parámetro que permite ‘medir’ la forma de variación de una función en los puntos de su dominio: sentido de la variación (crecimiento/decrecimiento) y ritmo de la misma.

Ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en x=a: y-f(a)=f’(a)(x-a)

Si una función es derivable en x=a es continua. Lo contrario no es cierto en ocasiones.

Función derivada f’(x).

A cada valor de x perteneciente al dominio (a) se le asocia por la función f’(x) el valor de su derivada (f’(x)).

Mediante la función derivada se puede estudiar el ritmo de variación de una función, así como el sentido de la misma.

Funciones diferentes pueden tener la misma función derivada.

Existe la función derivada de la función derivada (f’’(x)) llamada derivada segunda, la derivada de la derivada segunda (f’’’(x)) y así sucesivamente.

Cálculo de derivadas:

El cálculo de la función derivada de una función se basa en las siguientes reglas.

Reglas de derivación inmediata de funciones específicas.

Regla de la suma/resta.

Regla del producto.

Regla del cociente.

Regla de la cadena.

Debes repasarlas y conocerlas perfectamente para una correcta aplicación.

Aplicaciones de la derivada en la representación de funciones.

Estudio del crecimiento/decrecimiento de una función.

Determinación de la derivada de la función propuesta.

Estudio del signo de la derivada de la función

Determinación de puntos frontera de dominio, cambios de definición y soluciones de f’(x)=0 (puntos singulares de la función derivada).

Definición de zonas en el eje X usando como límites de las mismas los anteriores puntos singulares.

Selección de un representante de cada zona y estudio del signo de la derivada para el mismo. Todos los demás valores incluidos en la zona tendrán el mismo signo.

Si en una zona los valores de la derivada son negativos la función será decreciente. En el otro caso será creciente.

Siempre que en un valor del dominio de la función se produzca un cambio en su forma de variación tendremos un extremo (máximo si la función pasa de crecer a disminuir, mínimo en el caso contario)

Estudio de la curvatura (concavidad/convexidad) de una función.

Estudio del signo de la derivada segunda de la función.

Dicho estudio se hace de forma idéntica a lo descrito en el apartado anterior.

Si en una zona f’’ es positiva

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