Aplicaciones De Las Derivadas En La Salud

INTRODUCCIÓN

DEFINICIÓN DE DERIVADA

El concepto de derivada de una función matemática se halla íntimamente relacionado con la noción de límite. Así, la derivada se entiende como la variación que experimenta la función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos de su dominio suficientemente próximos entre sí. La idea de instantaneidad que transmite la derivada posee múltiples aplicaciones en la descripción de los fenómenos científicos, tanto naturales como sociales.

La derivada es una noción de la matemática que nombra al valor límite del vínculo entre el aumento del valor de una función y el aumento de la variable independiente.

La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.

El nacimiento y uso de las derivadas en el ámbito matemático, aunque tienen su origen en la Antigua Grecia, podemos establecer que hacen aparición como tal gracias a dos figuras históricas muy importantes: el matemático inglés Isaac Newton y el lógico alemán Gottfried Leibniz.

Y es que los mismos partieron de las teorías y conceptos establecidos por sus antecesores en el tiempo para poder llevar a cabo sus propias aplicaciones y métodos. Así, por ejemplo, Newton descubrió algoritmos, procedió a acometer la reestructuración de lo que son las bases de cálculos y creó su propio método para realizar el cálculo de las tangentes.

Derivada de una función en un punto

Dada una función f (x), y considerado un punto a de su dominio, se llama derivada de la función en ese punto, denotada como f ¿(a), al siguiente límite:

Este límite también puede expresarse de las dos formas alternativas siguientes:

Apoyo gráfico para la definición de derivada en un punto.

Hemos comprobado que hay una gran diferencia entre hacer unos cuantos ejercicios de cálculo sobre un concepto determinado y saber aplicar esos conocimientos en un problema con un contexto determinado y en el que tenemos que desentrañar qué información nos están dando y qué nos están pidiendo.

De eso vamos a tratar en este apartado, de resolver problemas en los que tengamos que interpretar el enunciado, descubrir dónde se esconde el concepto de derivada que estamos estudiando y cómo aplicar nuestros conocimientos hasta resolver el problema.

PROBLEMAS

La población P de una colonia de bacterias con espacio y alimentos ilimitados, varía con el tiempo de acuerdo a la expresión: P(t)= C. eK.t con C y K constantes, t en horas y K en 1 / hora.

Si en el instante inicial t = 0 la población era de 1000 bacterias y al cabo de 1 hora la misma se duplicó, determina los valores de C y K.

Bosqueja el gráfico de la función P, halla la velocidad v de crecimiento de la población en función de t y determina el instante de mínima velocidad.

Calcula la población al cabo de 2 horas y la velocidad de crecimiento en ese instante.

Demuestra que el modelo matemático adoptado para el estudio del problema consistió en suponer que la velocidad de crecimiento de la población en un instante fue proporcional al número de bacterias en ese instante.

SOLUCIÓN

La población de bacterias varía con el tiempo según la expresión:

P(t) =C.eK.t C y K constantes, t en horas, K en 1 / hora.

a) Como para: t =0, P = 1000 ⇒ C = 100

t = 1, P = 2000 ⇒ 2000 = 1000 eK ⇒ K = L 2

b) Sustituyendo los valores hallados: P(t) =1000.e( L2).t

Para bosquejar la función calculamos:

P(0) = 1000 lim┬(t→+∞)⁡〖P(t)= + ∞〗

dP/dt= 1000.L2.e^((L2).t)> 0 ∀ t ≥ 0 ⇒ P(t) monótona creciente.

(d^2 P)/(dt^2 )= 1000.(L2)^2.e^((L2).t)> 0 ∀ t ≥ 0 ⇒ P(t) tiene concavidad positiva.

El gráfico de P es como el indicado en la figura. Repara que se trata de una simple función exponencial.

De la inspección del gráfico o de la expresión de la derivada primera puedes concluir que la mínima velocidad de crecimiento de la colonia ocurre en t = 0 y vale:

Vmin. = 1000. L2 ≅ 690 bacterias/hora

c) Para t =2, P(2) = 4000 bacterias dP/dt (2)=2760 bacterias/hora

d) Como P(t) =C.eK.t y dP/dt=CK.e^(K.t) concluimos que:

dP/dt= K.P(t)

Es decir que la velocidad de crecimiento de la colonia de bacterias es proporcional a la cantidad de ellas en cada instante, siendo K la constante de proporcionalidad.

Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función p(t) = 5000 + 100t², siendo t el tiempo medido en horas. Se pide:

La velocidad media de crecimiento.

La velocidad instantánea de crecimiento.

La velocidad de crecimiento instantáneo para t0 = 10 horas.

SOLUCIÓN

La velocidad media de crecimiento.

Vm= (p(t+h)-p(t))/h= (5000+100 〖(t+h)〗^2-5000-100 t^2)/h=200t-100h

La velocidad instantánea

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