Tarea 2 Métodos Cuantitativos 1 Malla Nueva

Tarea No.

1

Métodos Cuantitativos I        Profesores: J. Sepulveda y P. Tapia[pic 1]

Universidad de Chile Economía & Negocios

Tarea No. 1

Primavera 2020

Ayudante Coordinador: - Bruce Lezana / Boris Pasten -

PROBLEMA 1.

Suponga que enfrenta un modelo de variable dependiente discreta, para la cual la función de verosimilitud se define, como:

[pic 2]

L (Y |X) =  ∏  FY[pic 3]

i=1        i

i · (1 − F i)1−Y i ]

Donde

F i = F (B′xi ) , siendo xi

el vector de observaciones del individuo i_ésimo.

Demuestre que la condición de primer orden para la maximización de la función de verosimilitud en logaritmo natural, cuando la función de distribución acumulada es Weibull, es decir, F (B′xi) = 1 − exp [− exp (B′xi)] , es igual, a:

∂ln(L)        n        Y

= ∑ [1 −   i ] · ln (1 − F i) · xi  = 0

Respuesta:

∂B        i=1        Fi

Se trabajará la función de distribución acumulada Weibull con el propósito de encontrar la funcion de distribucion ( f (B′xi ) ):

F (B′xi) = 1 − exp [− exp (B′xi)]

− 1 + F (B′xi) =− exp [− exp (B′xi)]

(1)

(− 1) · (− 1 + F (B′xi)) = (− 1) · (− exp [− exp (B′xi)]) 1 − F (B′xi) = exp [− exp (B′xi)]

Aplicando Logaritmo Natural se tiene:

ln (1 − F (B′xi)) = ln (exp [− exp (B′xi)])

ln (1 − F (B′xi)) =− exp (B′xi )

− ln (1 − F (B′xi)) = exp (B′xi )

(2)

Volviendo a aplicar Logaritmo Natural para eliminar el exp, se tiene:

Aplicando la derivada

ln (− ln (1 − F (B′xi))) = B′x

∂F (B′xi )[pic 4]

[pic 5]

∂(B′xi)[pic 6]

(3)

1

[pic 7]

−ln(1−F (B′xi))

         1         (1−F (B′xi))

f (B′xi) =− ln (1 − F (B′xi)) · (1 − F (B′xi ))

∂F (B′xi) = f (B′x )

[pic 8]

(4)

∂(B′xi)        i

∂F (B′xi) =− ln (1 − F (B′x )) · (1 − F (B′x ))

[pic 9]

∂(B′xi)        i        i

Por enunciado se sabe que F i = F (B′xi )

por lo que se puede inferir también que

f (B′xi) = f i

Por lo que también se debería cumplir que

∂F (B′xi) = f (B′x ) · x

[pic 10]

(5)

De la misma forma:

También se cumple que:

∂B′

∂Fi[pic 11]

∂B′

i

i · xi[pic 12]

i

(6)

∂(1−F (B′xi)) =− f (B′x ) · x

[pic 13]

(7)

Al igual, de la misma forma:

∂B′

∂(1−Fi)

[pic 14]

∂B′

i

i · xi[pic 15]

i

(8)

Con los datos obtenidos comenzamos a trabajar con la Función de Verosimilitud.

Aplicando Logaritmo Natural

L (Y |X) = n [FY[pic 16]

i=1

i · (1 − F i)1−Y

i ] / ln ( )

n        Y        (1−Y )

ln (L (Y |X)) =  ∑ [ln (Fi

i=1

i ) + ln ((1 − F i)

i )]

n

ln (L (Y |X)) = ∑ [(Y i) · ln (F i) + (1 − Y i) · ln (1 − F i)] i=1

...