CALCULO INTEGRAL TRA COL 2

6. Realice un (1) ejercicio de libre escogencia solucionado paso a paso para cada uno de las siguientes lecciones.

9 Lección No 17.

9 Lección No 23.

9 Lección No 29.

7. La solución de la siguiente integral, mediante el método de fracciones

Parciales ∫▒dx/(x^2-4) es:

∫▒dx/(x^2-4)

1/(x^2-4)=A/((x-2))+B/((x+2))

1/(x^2-4)=(A(x+2))/((x-2))+(B(x-2))/((x+2))

1/(x^2-4)=(A(x+2))/((x-2))+(B(x-2))/((x+2))

1=Ax+2A+Bx-2B Se iguala

1=Ax+Bx+2A-2B

0x+1=(A+B)x+2(A-B) Factorizamos x y 2

A+B=0 ⇒1=2(A-B)

A+B=0 ⇒1=2A-2B

Sistema de ecuaciones lineales multiplicamos por 2 para que se me cancele

(2)A+B=0 = 2A+2B = 0

2A+B=1 = 2A-2B=1

4A - 0=1

Despejamos A y obtenemos

4A=1 A=1/4

Por deducción sabemos que el factor que acompaña a 1 es 0 entonces B es:

B=-1/4

∫▒dx/(x^2-4)=∫▒〖(1/(4(x-2)))-(1/(4(x+2)))dx〗

∫▒dx/(x^2-4)=∫▒〖(1/(4(x-2)))-(1/(4(x+2)))dx〗

∫▒1/(4(x-2)) dx-∫▒1/(4(x+2)) dx

1/4 ∫▒1/(x-2) dx-1/4 ∫▒1/(x+2) dx Luego aplicamos Ln

1/4 ln⁡|x-2|-1/4 ln⁡|x+2|+C

7. La solución de la siguiente integral ∫x^(2 ) √x d⁡x

Por medio de la ley de las potencias obtenemos

x^(2 ) .x^□(1/2)=x^□(5/2)

∫▒x^□(5/2) d⁡x , su integral x^□(5/2) es (2x^□(7/2))/7

∫▒〖x^(2 ).〗 √x d⁡x=2/7 x^□(7/2) + C Respuesta es la B.

8. La solución de la siguiente integral ∫_1^3▒〖r^4 lnr 〗es:

Para la integral

∫_1^3▒〖r^4 lnr 〗

Lo trabajaremos de la forma

r^4 dv=dv lnr=u

r^5/5=v 1/r=du

∫▒〖udv=vu-∫▒vdu〗

=r^5/5 lnr-∫▒〖r^5/5*1/r dr〗

=r^5/5 lnr-∫▒〖r^4/5 dr〗

=r^5/5 lnr-1/5 ∫▒〖r^4 dr〗

=r^5/5 lnr-1/5*r^5/5

=∫_1^3▒〖r^5/5 lnr-〗 ∫_1^3▒〖1/5*r^5/5〗

1/5 (3^5 ln3-1^5 ln1)-1/25 (3^5-1^5 )

44.27

9. La solución de la siguiente integral definida

∫_0^3▒〖(x-1)/(x^2-4x+5) 〗 dx es:

Favor verificar el signo del denominador +5 debe ser -5 porque no podríamos factorizar

(x-1)/(x^2-4x-5)= A/(x-5)+B/(x+1)

(x-1)/(x^2-4x-5)= (A(x+1))/(x-5)+(B(x-5))/(x+1)

(x-1)/(x^2-4x-5)= (Ax+1A+Bx-5B)/((x-5)(x+1))

Análisis

1x-1 =Ax+1A+Bx-5B

A+B=1

A-5B=-1

Tenemos que en el numerador 1x-1 =Ax+1A+Bx-5B

Factorizamos 1x-1 =(A+B)x(1A-5B)

1A-5B=-1

Multiplicamos por -1 para que se cancelen

...