CALCULO MULTIVARIADO Vectores
andreaunad1082Informe29 de Abril de 2018
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CALCULO MULTIVARIADO
CÓDIGO: 203057
FASE 2: TRABAJO COLABORATIVO 2
Presentado a:
JOSE ADEL BARRERA
Tutor
Entregado por:
Andrés Fernando Gómez
Luis Antonio Velasco
Maryan Natalia Salazar Valenzuela
Código: 1.061.747.322
Yaneth Andrea Argoty
Código: 36861082
Ricardo Javier Benavides Bastidas
Grupo: 203057_21
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
15 de abril del 2018
POPAYÁN
INTRODUCCIÓN
Con el desarrollo de esta actividad de la fase 2 de la unidad 2: Derivación de funciones de varias variables se evidenciará el desarrollo de cuatro ejercicios y un problema de aplicación donde se trabajó las temáticas de derivadas parciales, derivadas direccionales y gradiente, máximos y mínimos, elementos diferenciales en coordenadas cilíndricas y esféricas y por último elementos diferenciales en coordenadas generalizadas y jacobiano.
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD
Repartición de ejercicios:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
Andrés Fernando Gómez | A | A | A | A | A |
Luis Antonio Velasco | B | B | B | B | B |
Maryan Natalia Salazar Valenzuela | C | C | C | C | C |
Yaneth Andrea Argoty | D | D | D | D | D |
Ricardo Javier Benavides Bastidas | C | C | C | C | C |
1. Calcular las cuatro derivadas parciales de segundo orden. Observar que las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales. 𝐷11𝑧, 𝐷22𝑧, 𝐷12𝑧=𝐷21𝑧
- [pic 2]
Primero hacemos las derivadas respecto a x, y respecto a y.
[pic 3]
Tratamos la y como constante y usamos la regla del cociente para derivar:
[pic 4]
[pic 5]
Ahora calculamos otra vez la derivada respecto a x
[pic 6]
[pic 7]
Usando la derivada del exponente y la regla de la cadena:
[pic 8]
Ahora buscamos la :[pic 9]
[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
Ahora calculemos [pic 15]
[pic 16]
Tratamos la x como constante y usamos la regla del cociente para derivar:
[pic 17]
[pic 18]
Ahora calculamos otra vez la derivada respecto a x
[pic 19]
Tratamos la x como constante:
[pic 20]
Aplicando la regla de la cadena:
[pic 21]
[pic 22]
Ahora calculamos la otra derivada parcial:
[pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
[pic 26]
De este modo podemos corroborar que [pic 27]
b. [pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
[pic 32]
[pic 33]
[pic 34]
[pic 35]
[pic 36]
[pic 37]
[pic 38]
[pic 39]
- C. [pic 40]
Derivamos con respecto a [pic 41]
[pic 42]
[pic 43]
Derivamos por segunda vez dx y dy
[pic 44]
[pic 45]
Ahora derivamos dx y dx con respecto a y y x respectivamente
[pic 46]
[pic 47]
Se cumple que [pic 48]
- D
[pic 49]
[pic 50]
[pic 51]
[pic 52]
[pic 53]
[pic 54]
[pic 55]
Segunda derivada
[pic 56]
[pic 57]
[pic 58]
[pic 59]
[pic 60]
[pic 61]
[pic 62]
[pic 63]
D22
[pic 64]
[pic 65]
[pic 66]
[pic 67]
[pic 68]
[pic 69]
[pic 70]
[pic 71]
[pic 72]
[pic 73]
D12
[pic 74]
Aplicar la regla de cadena
[pic 75]
[pic 76]
[pic 77]
[pic 78]
[pic 79]
Entonces
[pic 80]
[pic 81]
[pic 82]
[pic 83]
[pic 84]
X se comporta constante
[pic 85]
[pic 86]
Aplicar la regla de cadena
[pic 87]
[pic 88]
[pic 89]
[pic 90]
[pic 91]
[pic 92]
[pic 93]
[pic 94]
E. [pic 95]
[pic 96]
Evaluando en el punto :[pic 97]
[pic 98]
Ahora se calcula la derivada parcial mixta:
[pic 99]
Evaluando en el punto :[pic 100]
[pic 101]
Ahora se toma de nuevo la ecuación original y se deriva respecto a :[pic 102]
[pic 103]
A partir de esta se puede calcular la derivada de segundo orden derivándola de nuevo respecto a la misma variable independiente o también la derivada parcial mixta derivándola respecto a :[pic 104]
[pic 105]
Evaluando en el punto :[pic 106]
[pic 107]
Ahora se calcula la derivada parcial mixta:
[pic 108]
Evaluando en el punto :[pic 109]
[pic 110]
Comparando las derivadas parciales mixtas:
[pic 111]
2. Diferenciales
2.1 El error producido al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular es ±0.1 milímetros. Las dimensiones de la caja son x, y, z, en centímetros, como se muestra en la figura. Utilizar dV para estimar el error propagado y el error relativo en el volumen calculado de la caja.
| [pic 112] |
Sabemos que el volumen de la caja está determinado por la multiplicación de las tres dimensiones es decir [pic 113]
En primer lugar notemos que milímetros es igual 0.01 centimetros.[pic 114]
De este modo:
[pic 115]
Luego obtenemos que:
[pic 116]
Ahora reemplazando los datos obtenemos:
[pic 117]
[pic 118]
[pic 119]
Como el volumen está determinado por:
[pic 120]
Podemos obtener que el error relativo es:
[pic 121]
B. [pic 122]
[pic 123]
[pic 124]
[pic 125]
[pic 126]
[pic 127]
[pic 128]
Error propagado [pic 129]
Error relativo [pic 130]
- C[pic 131]
El volumen de la caja viene dado por V=xyz entonces,
[pic 132]
0.1mm =0.01cm
[pic 133]
El error propagado seria:
[pic 134]
[pic 135]
[pic 136]
[pic 137]
El error relativo seria:
Si [pic 138]
- D x = 55 cm; y= 25 cm y z= 16 cm
[pic 139]
[pic 140]
[pic 141]
[pic 142]
[pic 143]
Datos
[pic 144]
[pic 145]
[pic 146]
[pic 147]
[pic 148]
[pic 149]
[pic 150]
[pic 151]
[pic 152]
[pic 153]
Error relativo
[pic 154]
[pic 155]
E. x = 72 cm; y= 35 cm y z= 25 cm
|
El volumen de esta figura geométrica está dado por:
[pic 156]
Y el diferencial de este volumen será:
...