Ecuaciones diferenciales. Variables separables

Variables separables:

Una ecuación diferencial de primer orden de la forma dy/dx = g(x)h(y) se dice que es separable o que tiene variables separables. Se acomodan de un lado los términos con variable x y del otro lado los términos con variable y, y se integran cada uno de los lados.

Ecuación lineal:

Una ecuación diferencial de primer orden de la forma a1(x)dy/dx + a0(x)y = g(x) se dice que es una ecuación lineal en la variable dependiente y. Si dividimos entre a1(x) nos queda la ecuación diferencial lineal en y: dy/dx + P(x)y = G(x). Con esta ecuación se define el factor integrante e∫P(x)dx y este se multiplica por la primera ecuación, después se integra para encontrar la solución general.

Ecuaciones exactas:

Una expresión diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy es una diferencial exacta en una región R del plano xy si ésta corresponde a la diferencial de alguna función f(x,y) definida en R. Una ecuación diferencial de primer orden de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 se dice que es una ecuación exacta si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.

Teorema “Criterio de Exactitud”: Sean M(x,y) y N(x,y) continuas y que tienen primeras derivadas parciales continuas en una región rectangular R definida por a<x<b, c<y<d. Entonces una condición necesaria y suficiente para que M(x,y)dx y N(x,y)dy sea una diferencial exacta es: M/y = N/x.

Sabiendo que la ecuación es exacta, se hace M = la derivada parcial de F respecto a x y N= la derivada parcial de F respecto a y. Se integra la más fácil de resolver y se iguala a la M o N que no se haya usado, para terminar, se sustituye en la primera integral que calculamos.

Ecuaciones homogéneas.

Una ED homogénea es como su etimología lo indica una ecuación cuyos componentes comparten una característica, la cual llamamos cte. T de tal manera que al separarlo el exponente de T nos indicaría el grado de la ecuación diferencial, por ejemplo, en una ecuación de variables separables.

Mdx=Ndy

Nos indicaría que es homogénea, lo cual en muchos casos facilita la solución ya que se puede hacer una sustitución de tipo.

X=uy o Y=ux Lo cual luego se sustituye en la ED de variables separables.

Ecuaciones de Bernoulli.

Las ED de Bernoulli fueron formuladas por matemáticos de dicha familia la cual nos ayuda en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con la forma de

dxdy+p(x)y=q(x)yn La cual se puede resolver en 3 diferentes casos, si n es diferente de 0 y 1 si n=1 y si n=0

La más fácil es si n=0 ya que la vuelve una ecuación lineal.

Después seguiría la de n=1 ya que de igual manera eso la vuelve de variables separables

La aplicación buena del método de Bernoulli aplica cuando no es ninguno de los casos anteriores ya que aplicamos el.

w=y1−n De tal manera que nos queda una ecuación de forma.

dwdx+(1−n)p(x)w=(1−n)Q(x) La cual es lineal en w.

Ecuaciones de la forma (𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄).

Para esta ecuación diferencial se aconseja realizar la sustitución u=ax + by + c.

Du/dx = d/dx (ax + by + c)

Du/dx = a + b dy/dx -> dy/dx = 1/b (du/dx -a)

Ecuaciones especiales de segundo orden reducibles a primer orden.

Las ED de segundo orden son uno de los casos más interesantes que hay ya que aplica una salida que normalmente consideraríamos demasiado fácil para poder aplicarla en caso de no saber resolver las ecuaciones diferenciales de orden mayor si no supiéramos que si aplica, comenzamos con la forma.

f(x,y´,y´´)=0 Y utilizamos la sustitución. U=y´=>U´=y´´ De tal manera que nos queda una ecuación lineal en U de diferenciables exactas. f(x,U,U´)=0 Para la cual tenemos métodos bastante sencillos para resolverlas, de tal manera que al tener la solución de la ED simplemente sustituimos

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