Circuitos Rc

Introduccion

Un circuito es una red eléctrica (interconexión de dos o más componentes, tales como resistencias, inductores, condensadores, fuentes, interruptores y semiconductores) que contiene al menos una trayectoria cerrada. Los circuitos que contienen solo fuentes, componentes lineales (resistores, condensadores, inductores) y elementos de distribución lineales (líneas de transmisión o cables) pueden analizarse por métodos algebraicos para determinar su comportamiento en corriente directa o en corriente alterna. Un circuito que tiene componentes electrónicos es denominado un circuito electrónico. Estas redes son generalmente no lineales y requieren diseños y herramientas de análisis mucho más complejos.

Un circuito resistor-capacitor, o circuito RC. En la parte a del dibujo un interruptor completa el circuito en el punto A, de modo que la batería puede cargar las placas del capacitor. Cuando el interruptor est\’a cerrado, el capacitor no se carga de inmediato. En vez de lo anterior, la carga llega gradualmente a su valor de equilibrio de q= CVo, en donde Vo es la tensi\’on de la bater\’ia.

Carga

En el tiempo dt una carga dq (=i dt) pasa a trav\’es de cualquier secci\’on transversal del circuito. El trabajo ( = Є dq) efectuado por la fem debe ser igual a la energ\’ia interna ( i2 Rdt) producida en el resistor durante el tiempo dt, m\’as el incremento dU en la cantidad de energ\’ia U (=q2/2C) que esta almacenada en el capacitor. La conservaci\’on de la energ\’ia da:

Є dq = i2 Rdt + q2/2C

Є dq = i2 Rdt + q/c dq

Al dividir entre dt se tiene:

Є dq / dt = i2 Rdt + q/c dq/dt

Puesto que q es la carga en la placa superior, la i positiva significa dq/dt positiva. Con i = dq/dt, esta ecuaci\’on se convierte en:

Є = i Rdt + q/c

La ecuación se deduce tambien del teorema del circuito cerrado, como debe ser puesto que el teorema del circuito cerrado se obtuvo a partir del principio de conservación de energ\’ia. Comenzando desde el punto xy rodeando al circuito en el sentido de las manecillas del reloj, experimenta un aumento en potencial, al pasar por la fuente fem y una disminuci\’on al pasar por el resistor y el capacitor , o sea:

Є -i R - q/c = 0

La cual es id\’entica a la ecuaci\’on Є = i Rdt + q/c sustituimos primero por i por dq/dt, lo cual da:

Є = R dq / dt + q/c

Podemos reescribir esta ecuaci\’on así:

dq / q - Є C = - dt / RC

Si se integra este resultado para el caso que q = 0 en t= 0, obtenemos (despejando q):o

q= C Є (1 – e-t/RC)

Se puede comprobar que esta funci\’on q (t) es realmente una soluci\’on de la ecuación Є = R dq / dt + q/c, sustituyendo en dicha ecuación y viendo si se obtiene una identidad. Al derivar la ecuaci\’on q= C Є ( 1 – e-t/RC) con respecto al tiempo da:

i = dq = Є e-t/RC dt R

En las ecuaciones q= C Є (1 – e-t/RC) y i = dq = Є e-t/RC la cantidad RC tiene

dt R las dimensiones de tiempo porque el exponente debe ser adimensional y se llama constante capacitiva de tiempo τ C del circuito

τ C = RC

Es el tiempo en que ha aumentado la carga en el capacitor en un factor 1- e-1 (~63%) de su valor final C Є, Para demostrar esto ponemos t = τ C = RC en la Ecuac\’on q= C Є ( 1 – e-t/RC) para obtener:

q= C Є ( 1 – e-1) = 0.63 C Є

Si un circuito se incluye una resistencia junto con un capacitor que est\’a siendo cargado, el aumento de carga en el capacitor hacia su valor l\’imite se retrasa durante su tiempo caracterizado por la constante de tiempo RC.

Constante de tiempo

Despu\’es de un tiempo igual a RC, la corriente en el circuito R- C disminuye a 1/e (cerca de 0.38) de su valor inicial. En este momento, la carga del capacitor ha alcanzado (1 – 1/e) = 0.632 de su valor

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