La circunferencia

La circunferencia

La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

Elementos de la circunferencia

Rectas en la circunferencia

Radio: Es un segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella.

El radio se nombra con la letra “r” o bien con sus puntos extremos.

La medida del radio es constante.

Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas tienen distintas medidas.

Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

El diámetro es la cuerda de mayor medida.

El diámetro se nombra con la letra “d”.

El diámetro siempre es el doble del radio: d = 2r r = d/2 .

Tangente: es la recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia.

Secante: es la recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia.

Arco: es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.

Ángulos en una circunferencia

Ángulo del centro: Es el ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios de ella.

Figura Características Medida

Vértice en el centro de la circunferencia

Lados que contienen radios de ella m (< AOB) = m (arco AB)

Ejemplo:

(Debe leerse: arco SR es igual a un tercio de la circunferencia. Calcular el ángulo X))

Por definición del Teorema del ángulo del centro la medida del arco SR es igual a la medida del ángulo del centro (x). Como la circunferencia en el sistema sexagesimal tiene 360º significa que el arco SR mide 1/3 de 360º, esto es dividir 360 en 3 partes y tomar 1 sola.

360º : 3 = 120º < SOR = 120º

Ángulo Inscrito: Es el ángulo cuyo vértice está sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas de ella. Para todo ángulo inscrito, existe un ángulo del centro que subtiende el mismo arco. El ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco.

Figura Características Medida

< ABC inscrito que subtiende arco AC

< AOC del centro que subtiende arco AC

Vértice en la circunferencia.

Los lados son cuerdas de ella.

< ABC subtiende arco AC.

El centro de la circunferencia está en el interior del ángulo. m ( <ABC) = ½ m (<AOC)

(Debe leerse: medida del ángulo (ABC) es igual a la mitad del ángulo (AOC)

Ejemplo:

Si ángulo y es igual a 54 grados

Entonces ¿cuánto mide el ángulo x ?

El ángulo “y” es un ángulo del centro; el ángulo “x” es un ángulo inscrito que subtiende un arco común con el ángulo del centro (AB), por lo tanto, se debe aplicar el Teorema del ángulo inscrito.

Por Teorema: x = 1/2 y x = 1/2 • 54 = 54/2 = 27º

Caso Especial:

Si un ángulo inscrito subtiende una semicircunferencia, entonces es recto.

α = 180º β = 90º

CIRCULO O REGION CIRCULAR: Es todo el espacio interior encerrado por una circunferencia..

REPRESENTACIONES MATERIALES DEL CÍRCULO: Disco, plato, fondo de vaso, tapa de tarro, CD, etc

AREA DEL CIRCULO: p • r2

Elementos del círculo

Segmento circular: es cada una de las partes en que se divide un círculo cuando se traza una cuerda (A - B). Si la cuerda es un diámetro, cada parte será un semicírculo.

Sector circular: es la parte del círculo limitada por dos radios y un arco.

Corona circular: es la porción del plano comprendida entre dos circunferencias concéntricas.

2.1centro, radio y circunferencia

Centro

Centro de una circunferencia

El centro es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

Radio

Radio de una circunferencia

El radio de una circunferencia es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

El radio mide la mitad del diámetro.

El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida por 2π.

Circunferencias

El conjunto de todos los puntos de un plano que están a una distancia fija de un centro

2.1.1.- representación grafica de la circunferencia y sus elementos

A partir de la definición deduciremos la ecuación de una circunferencia que tenga el centro en el origen de coordenadas y radio R.

Si P(x, y) es un punto que pertenece a la circunferencia entonces la distancia de P al centro es:

d(P,O) x y R 2 2 = + =

Elevando al cuadrado se obtiene

2 2 2

x + y = R

Que es la ecuación canónica de la circunferencia con centro en el origen y radio R.

Te proponemos que deduzcas la ecuación canónica de la circunferencia con centro en el punto de coordenadas C(a, b) y radio R.

Elementos distintivos de la circunferencia

Los elementos que distinguen a las circunferencias son su centro y su radio.

Gráfica de la circunferencia

Ejemplo 1:

Encuentra la ecuación de la circunferencia centrada en el punto C(2, – 3) y radio 5. Grafica.

Todo punto que pertenezca a la circunferencia debe estar a distancia 5 del punto C(2, – 3), por lo tanto debe verificarse que:

d(P, C) = (x 2) (y ( 3)) (x 2) (y 3) 5 2 2 2 2 − + − − = − + + =

Elevando al cuadrado se tiene:

(x – 2)2

+ (y + 3)2

= 25

La circunferencia es una línea curva, plana y cerrada, cuya definición más usual es: Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro.

A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica.

Es una curva plana con infinitos ejes de simetría y sus aplicaciones son muy numerosas.

Parábola:

En matemática, la parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo.

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