Coeficientes de correlación por rangos de Spearman y Kendall

Coeficientes de correlación por rangos de Spearman y Kendall

Esta prueba estadística permite medir la correlación o asociación de dos variables y es aplicable cuando las mediciones se realizan en una escala ordinal, aprovechando la clasificación por rangos.

El coeficiente de correlación de Spearman se rige por las reglas de la correlación simple de Pearson, y las mediciones de este índice corresponden de + 1 a - 1, pasando por el cero, donde este último significa no correlación entre las variables estudiadas, mientras que los dos primeros denotan la correlación máxima.

La ecuación utilizada en este procedimiento, cuando en el ordenamiento de los rangos de las observaciones no hay datos empatados o ligados, es la siguiente:

Donde:

rs = coeficiente de correlación de Spearman.

d2 = diferencias existentes entre los rangos de las dos variables, elevadas al cuadrado.

N = tamaño de la muestra expresada en parejas de rangos de las variables.

S = sumatoria.

Pasos.

1. Clasificar en rangos cada medición de las observaciones.

2. Obtener las diferencias de las parejas de rangos de las variables estudiadas y elevadas al cuadrado.

3. Efectuar la sumatoria de todas las diferencias al cuadrado.

4. Aplicar la ecuación.

5. Calcular los grados de libertad (gl). gl = número de parejas - 1. Solo se utilizará cuando la muestra sea mayor a 10.

6. Comparar el valor r calculado con respecto a los valores críticos de la tabla de valores críticos de t de Kendall en función de probabilidad.

7. Decidir si se acepta o rechaza la hipótesis.

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Ejemplo sin ligas o empates:

Un investigador está interesado en conocer si el desarrollo mental de un niño esta asociado a la educación formal de su madre. De esta manera, obtiene la calificación de desarrollo mental en la escala de Gesell de ocho niños elegidos aleatoriamente y se informa del grado de escolaridad de las madres.

Elección de la prueba estadística.

Se desea medir asociación o correlación. Las calificaciones de la educación formal de las madres están dadas en una medición cualitativa, pero tienen una escala ordinal, por lo cual es posible ordenarlas en rangos. Véase: Flujograma 6

Planteamiento de la hipótesis.

• Hipótesis alterna (Ha). El desarrollo mental de los hijos es una variable dependiente de la educación formal de la madre; por lo tanto, existe una correlación significativa.

• Hipótesis nula (Ho). La asociación entre las variables de educación formal de la madre y el desarrollo mental de los hijos no es significativa, ni hay correlación.

Nivel de significación.

Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se rechaza Ho.

Zona de rechazo.

Para todo valor de probabilidad mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha.

Desarrollo mental de algunos niños y escolaridad de las madres.

Aplicación de la prueba estadística.

Las observaciones de cada variable se deben ordenar en rangos, así como obtener las diferencias entre los rangos, efectuar la sumatoria y elevar ésta al cuadrado.

Educación de algunas madres y calificación de desarrollo mental de los hijos.

Calculo de rs de Spearman.

Calculo de los grados de libertad (gl).

gl = numero de parejas - 1 = 8 - 1 = 7

El valor rs calculado se compara con los valores críticos de rs del coeficiente de correlación por rangos de Spearman.

El valor crítico de rs con 7 grados de libertad, para una probabilidad de 0.05 del nivel de significancia es 0.714, o sea, mayor que el calculado. Por lo tanto, éste tiene una probabilidad mayor que 0.05.

Decisión.

Como el valor de probabilidad de rs de 0.69 es mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha.

Interpretación.

El coeficiente de correlación de Spearman de 0.69 es menor que los valores críticos de la tabla, pues a éstos corresponde la probabilidad de obtener esa magnitud, al nivel de confianza de 0.05 y 0.01, para 0.714 y 0.893. Esto significa que para aceptar Ha, se requiere tener un valor igual o más lato que 0.714. Por lo tanto se acepta Ho y se rechaza Ha, aun cuando, como se observa en la siguiente figura, existe una asociación relativa entre la educación formal de la madre y el desarrollo mental de sus hijos; sin embargo, ésta no es significativa.

Correlación de rangos.

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Ejemplo con ligas o empates:

El tamaño de la muestra influye que durante el ordenamiento en rangos puedan existir ligas o empates. Para estos casos, los pasos son los mismos, pero la fórmula no es aplicable. Las ecuaciones que se deben utilizar en esta condición son las siguientes:

Donde:

rs = coeficiente de correlación de Spearman.

SX2 = sumatoria de los cuadrados de la variable independiente.

Asimismo:

Donde:

N = tamaño de la muestra.

SLx = sumatoria de las ligas o empates de la variable independiente.

Por otra parte:

Donde:

Li = valor del número de rangos empatados.

Además:

Donde:

SLy = sumatoria de las ligas o empates de la variable dependiente.

Ya explicados las ecuaciones a aplicar, pasamos al ejemplo:

El investigador del ejemplo anterior decide aumentar el tamaño de la muestra a 20 observaciones de escolaridad materna y el desarrollo mental de los hijos.

En virtud de que el presente ejemplo es una extensión del anterior, se obviarán la elección de la prueba estadística, el planteamiento de la hipótesis, el nivel de significancia y la zona de rechazo, referentes a las reglas para aplicar una prueba estadística.

Escolaridad de la madre y desarrollo de los hijos (20 observaciones).

Aplicación de la prueba estadística.

Inicialmente, las observaciones se ordenan en rangos, de la expresión de menor categoría a la más alta. Se detectan los empates o ligas y se les asigna el punto intermedio de los rangos que deberían ocupar.

Arreglo ordinal de las observaciones.

*Ligas o empates (Li). Sd2 = 168.5

Detección de las ligas o empates para esta variable.

Ligas de X: 1.5 - 1.5, 4.5 - 4.5, 10.5 - 10.5 - 10.5, 14.5 - 14.5

Ligas de Y : 8.5 - 8.5, 10.5 - 10.5, 12.5 - 12.5

De acuerdo con las ecuaciones.

Ahora se pueden resolver las siguientes ecuaciones.

Finalmente obtenemos el valor de rs.

Cálculo de los grados de libertad (gl).

gl = número de parejas - 1 = 20 - 1 = 19

El valor del coeficiente de correlación de Spearman calculado se compara con la tabla de valores críticos de rs y se observa que el obtenido es mayor que los críticos, con una probabilidad menor que 0.01.

Decisión.

Como el valor rs equivale a una probabilidad menor que 0.01 (por lo tanto, también menor que 0.05, el cual es el nivel de significancia), se acepta Ha y se rechaza Ho.

Interpretación.

Entre las variables educación de la madre y desarrollo mental de los hijos existe una correlación significativa, el nivel de confianza de p menor que 0.01. Conforme la instrucción formal de la madre es superior, hay una probabilidad más alta de que su hijo tenga un mejor desarrollo mental. Esto último corresponde a una variable dependiente de la educación de la madre (véase la siguiente figura).

Correlación de rangos

Interpretación de resultados en el análisis no-paramétrico usando software

Proceso lógico de la decisión estadística

Definición de las variables a trabajar

Derivada del término en latín variabilis, variable es una palabra que representa a aquello que varía o que está sujeto a algún tipo de cambio. Se trata de algo que se caracteriza por ser inestable, inconstante y mudable. En otras palabras, una variable es un símbolo que permite identificar a un elemento no especificado dentro de un determinado grupo. Este conjunto suele ser definido como el conjunto universal de la variable(universo de la variable, en otras ocasiones), y cada pieza incluida en él constituye unvalor de la variable.

Por ejemplo: x es una variable del universo {1, 3, 5, 7}. Por lo tanto, x puede ser igual a cualquiera de los recién mencionados valores, con lo cual es posible reemplazar a x por cualquier número impar que sea inferior a 8.

Como podrán advertir, las variables son elementos presentes en fórmulas, proposiciones y algoritmos, las cuales pueden ser sustituidas o pueden adquirir sin dejar de pertenecer a un mismo universo, diversos valores. Cabe mencionar que los valores de una variable pueden enmarcarse dentro de un rango o estar limitados por situaciones de pertenencia.

Puede hablarse de distintos tipos de variable: las variables dependientes, que son aquellas que dependen del valor que se le asigne a otros fenómenos o variables; lasvariables independientes, cuyos cambios en los valores influyen en los valores de otra; las variables aleatorias son las funciones que asocian un número real a cada elemento de un conjunto E.

En otra clasificación puede decirse que existen variables cualitativas, que expresan distintas cualidades, características o modalidades, y variables cuantitativas,

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