Cálculo. Derivadas y sus aplicaciones

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Derivadas y sus aplicaciones

Introducción

Razón de cambio (Smith, 2001)

Dada [pic 8] si x cambia de [pic 9] a [pic 10] entonces el cambio en x se llama incremento de x: [pic 11].

El correspondiente incremento de y es [pic 12], luego entonces, el cociente de estos incrementos se llama Razón de cambio promedio de y con respecto a x.

Razón de cambio promedio= [pic 13]

La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio ∆Q en Q con respecto del cambio ∆t en t, por lo que es el cociente .[pic 14]

Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando ∆t[pic 15]0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es .[pic 16]

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Lo cual simplemente es la derivada f ´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q =f(t) es la derivada.

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La razón de cambio instantánea de [pic 19]con respecto a x en el punto [pic 20]es:

Razón de cambio instantáneo=[pic 21]

Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo:

• El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)
• La cantidad de dinero en una cuenta en un banco.
• El volumen de un globo mientras se infla.
• La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje.
• El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+∆t, es el incremento ∆Q.

Objetivo

Investigar el caso específico de una razón de cambio, generando los conocimientos de derivación así como la abstracción del cálculo, lo que permitirá aplicar estos conocimientos a diferentes problemas en la ingeniería y las ciencias exactas.

Aplicación 1

Como se trató en la introducción, la razón de cambio es utilizada para la determinación de la aceleración en cualquier tipo de sistema. En sistemas hidráulicos muchas veces se requiere saber la rapidez o aceleración con la cual el fluido es suministrado. En la siguiente aplicación, se cuenta con un depósito cilíndrico de base circular de 5mts de radio, al cual se le suministra agua a un flujo de  25 l/s. Se desea conocer la rapidez con la que sube el agua para cumplir las normativas estatales (las cuales deben cumplir con un mínimo de 0.002 dm/s) (Larson, 1999).

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Primero se transforman las unidades para compararlas con  lo dictado por la normativa.

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Se sabe la geometría de la tubería, para un cilindro, el volumen se define como:

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Se establece la razón del volumen con respecto a pequeñas unidades diferenciales de tiempo.

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Se aplica derivación para hallar la razón de cambio que define la rapidez del flujo.

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Y finalmente se sustituyen valores: [pic 28]

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Es así como se puede determinar el flujo en un sistema hidráulico con el empleo del cálculo y prescindiendo de equipos de medición. En esta aplicación nos damos cuenta que sí se cumple con el flujo mínimo de suministro estatal.

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