DESIGULADADES QUE INCLUYEN COCIENTES
Enviado por fherdinandoval • 7 de Octubre de 2016 • Apuntes • 1.184 Palabras (5 Páginas) • 210 Visitas
[pic 1][pic 2]
DESIGULADADES QUE INCLUYEN COCIENTES
NOTA IMPORTANTE.- Para resolver desigualdades que incluye cocientes se utiliza el siguiente hecho:
[pic 3]
Ejemplo 4
Resolver la desigualdad: [pic 4]
Observe que esta desigualdad incluye un cociente como lo que se indica en la NOTA IMPORTANTE, por lo tanto es necesario llevarlo a una de esas dos formas, así que empezamos a despejar restando 1 de ambos miembros, o bien “pasando” el uno al lado izquierdo. Tenemos que:
[pic 5]
Para simplificar, obtenemos un común denominador:
[pic 6]
Eliminando paréntesis:
[pic 7]
Simplificando
[pic 8]
Observe que ya se tiene de la forma requerida, y haciendo uso de la nota señalada arriba, que dice, si: , entonces la expresión en forma de cociente se puede re escribir de la siguiente manera:[pic 9]
[pic 10]
Multiplicando por (-1) para afectar el factor y dejar de forma positiva, tenemos:[pic 11][pic 12]
[pic 13][pic 14]
[pic 15]
Dividiendo por 2 a (2x+1): [pic 16][pic 17]
Ahora bien, para encontrar el conjunto de números que sea solución y su producto sea ) tenemos que realizar lo siguiente:[pic 18]
Como podemos observar, el producto [pic 19]
[pic 20]
Marcamos estos puntos sobre la recta numérica. Estos puntos definen tres intervalos:
[pic 21]
Observe que si sustituimos la , por un número que pertenezca a cada uno de esos intervalos, el producto tiene un signo constante. Para probar lo anterior, analicemos intervalo por intervalo:[pic 22][pic 23]
Primer intervalo
Se puede probar con cualquier valor que este dentro del primer intervalo, pero por comodidad probemos con [pic 24]
El signo de [pic 25]
Segundo intervalo
Se puede probar con cualquier valor que este dentro del segundo intervalo, pero por comodidad probemos con [pic 26]
El signo de [pic 27]
Tercer intervalo
Se puede probar con cualquier valor que este dentro del tercer intervalo, pero por comodidad probemos con [pic 28]
El signo de [pic 29]
Conclusión:
Como se puede apreciar, el producto es positivo o mayor que cero, solo en el primero y tercer intervalo. Entonces la solución para esta desigualdad es el conjunto (-[pic 30][pic 31]
“Todos los valores de x que están en el conjunto (-[pic 32]
”[pic 33]
Formas de representar la solución:
Representando la solución de las tres maneras que conocemos, tenemos:
- En notación tipo conjunto:
[pic 34]
- De manera gráfica:
[pic 35]
- Y en notación compacta:
[pic 36]
DESIGUALDADES DE SEGUNDO GRADO
Resolución de desigualdades de segundo grado con una incógnita
Para resolver desigualdades de segundo grado es necesario que la expresión algebraica de la desigualdad, se exprese en factores. Por lo tanto, es necesario que este familiarizado con las diversas formas de factorizar una expresión algebraica. Por ejemplo para la desigualdad de segundo grado:
[pic 37]
Se debe expresar en forma de factores:
[pic 38]
Ejemplo 5
Resolver la siguiente desigualdad.
[pic 39]
En primer lugar se tiene que descomponer el polinomio cuadrático de la forma [pic 40]
Para lograr estos factores, es necesario que encuentre dos números que su producto sea 3 y la suma de los mismos sea -4, matemáticamente se expresa así:
[pic 41]
[pic 42]
Los números que multiplicados dan 3 y sumados dan , son el y el , donde [pic 43][pic 44][pic 45][pic 46]
y , entonces:[pic 47]
[pic 48]
De esta manera, nuestra desigualdad queda de la siguiente manera:
[pic 49]
Ahora bien, observe que cuando o , el producto de los factores valen cero. Marcamos estos puntos sobre la recta numérica. Estos puntos definen tres intervalos:[pic 50][pic 51][pic 52]
[pic 53]
NOTA IMPORTANTE PARA ENCONTRAR LA SOLUCION
Observe que en cada uno de esos intervalos el producto tiene un signo constante si sustituye la por un número que pertenezca a ese respectivo intervalo y es importante encontrar el o los intervalos donde la desigualdad sea menor que cero, es decir su signo sea negativo:[pic 54][pic 55]
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