Fracciones parciales. un cociente de polinomios en una suma de fracciones
Enviado por Recc0106 • 22 de Noviembre de 2016 • Tareas • 1.572 Palabras (7 Páginas) • 606 Visitas
FRACCIÓN PARCIAL
El método de las fracciones parciales consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado.
Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.
Se dice que una función racional es una fracción propia, si el grado del polinomio P(x) es menor que el grado del polinomio Q(x). En caso contrario, es decir, si el grado de P(x) es mayor o igual al de Q(x), la fracción se llama impropia.[pic 1]
Toda fracción impropia se puede expresar, efectuando la división, como la suma de un polinomio, más una fracción propia. Es decir:
[pic 2]
Para resolver fracciones parciales tenemos los siguientes casos
- Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.
- Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.
- Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible.
- Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido.
CASO 1:
El denominador q(x) es un producto de factores lineales distintos.
ESTO SE PUEDE ESCRIBIR COMO:
Q(x) = (a1x + b1) (a2x + b2) · · · (anx + bn)
En donde no hay factor que se repita.
En este caso, existen constantes A1, A2, · · ·, An tales que
[pic 3]
Ejemplo.
Descomponer en fracciones parciales la fracción:
[pic 4]
Solución:
Tenemos que el denominador se puede descomponer en factores simples como sigue:
[pic 5]
Luego la descomposición en fracciones parciales es:
[pic 6]
Para encontrar los valores de A y B, multiplicamos la igualdad por (x + 4) (x − 1), obteniendo
7x + 3 = A(x − 1) + B(x + 4)
Desarrollando tenemos
7x + 3 = Ax − A + Bx + 4B
7x + 3 = Ax + Bx − A + 4B
7x + 3 = x(A + B) − A + 4B
7x + 3 = x(A + B) − A + 4B
En donde obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
7x = x (A + B) 3 = − A + 4B
A+B=7 −A+4B = 3
A=7−B −7+B+4B=3
5B=10
B=2
A=5
Por lo que la fracción queda:
[pic 7]
CASO 2:
El denominador q(x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten.
Si Q(x) tiene un factor lineal repetido n veces de la forma , entonces la descomposición en fracciones parciales contiene n términos de la forma:[pic 8]
[pic 9]
Ejemplo.
Descomponer en fracciones parciales:
[pic 10]
SOLUCION:
La descomposición en fracciones parciales es:
[pic 11]
Multiplicando por el denominador común tenemos:
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
Obteniendo los sistemas de ecuaciones siguientes
[pic 18][pic 19][pic 20]
[pic 21][pic 22][pic 23]
[pic 24][pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
Por lo que la fracción queda:
[pic 29]
CASO 3:
El denominador q(x) contiene factores cuadráticos irreductibles, ninguno de los cuales se repite.
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