DINAMICA DE SISTEMAS FISICOS

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DINAMICA DE SISTEMAS FISICOS

MANUAL UNIDAD II

FRANCISCO ROLANDO CAMACHO ALCALÁ

MATRÍCULA: 17079

INGENIERÍA MECATRÓNICA

ING. JUAN DE DIOS ALARDIN HERNANDEZ

                                                                                                                                          20/SEPTIEMBRE/2019

Modelo de movimiento forzado

Cuando en un sistema masa-resorte hay una fuerza externa fe(t)(fuerza de excitación) se le conoce como sistema con movimiento forzado. Cuya ecuación diferencial es la siguiente: mx” + Bx´ + kx = fe(t), la solución general está dada por una solución complementaria Xe(t) y una solución particular de Xp(t).

Ejemplo

X(t) = C1 cos wt + C2 sen wt

m=2kg

k=50N/m                            

Vo= 2 m/s                          

Xo= -1      

c1=Xo          c2=Vo/w

C1=-1m         c2=2/w

w=√k/m = √50/2 = 5

C2=2/5

X(t) = -cos5t + 2/5 sen 5t

X(s)= -cos5(5) + 2/5 sen 5(5)

X(5) = -1.044m

X´t = 5 sen 5t + 2 cos 5t

X´(5) = 5sen5(5) + 2 cos5(5)

X´(5) =1.3206 m/s

Ecuación de movimiento amortiguado de un resorte

mx” + Bx´ + kx = 0

x(t) = C1 e^r1 + C2 e^r2

Ejercicios:

Se tiene un resorte que soporta una masa de 4.5kg que provoca que el resorte se alargue 1m, quedando en equilibrio.

Con otra masa de 1kg, se sumerge en un liquido que tiene una constante de 15 veces la velocidad instantánea

Se extiende la masa a 1m del equilibrio, al soltarla adquirere una velocidad de 4.5m/s.

Determinar la posición de la masa en cualquier instante.

F=-kx

-k=f/t

-k= (4.5(9.81))/1

Vo=4.5m/s

Xo=1m

x(t) = C1 e^r1 + C2 e^r2

r^2 + 15r +44.14 =0

r1=-4

r2=-11

x(t) = C1 e^-4t + C2 e^-11t

x´(t) = C1 e^-4t + C2 e^-11t = 4.5m/5

C1+C2 =1

-4C1 -11C2 = 4.5

C1=2.21

C2=-1.21

X(t)= 2.21e^-4t + (-1.21)e^-11t

Una fuerza de 400N alarga u resorte 2m. Una masa de 50kg se une al extremo del resorte y se libera inicialmente desde el equilibrio con una velocidad de 10m/s.

Encuentre la ecuación diferencial, los valores de C1 y C2 para obtener la ecuación de movimiento y velocidad.

 F=400N

Xo=2m

m=50kg

v=-10m/s

x(t) = C1 cos wt + C2 sen wt

-k=F/x = 400/2 =200

K=-200

w=√k/m = √200/50 = 2

C1=Xo = 0

C2=-10/2 =-5

X(t) = C1 cos wt + C2 sen wt

X(t) = 0 cos 2t + (-5) sen 2t

X(t)= -5 sen 2t

X´(t)= 2(-5) sen 2t

X´(t)= -10 sen 2t

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Se tiene un sistema masa resorte donde m=5kg y k =20Nm que esta sometido a una fuerza de excitación fe(t)=5cos3t condiciones iniciales de Xo=.02 y X´o =0

Determinar la posición y velocidad en cualquier momento.

fe(t)=5cos3t    Xo=.02    X´o=0

5” + 20x = 5cos3t

Xp(t)= Acos3t + Bsen3t

Xp´(t)= -3Acos3t + 3Bsen3t

Xp”(t)= -9Acos3t - 9Bsen3t

-45Acos3t – 45Bsen3t + 20Acos3t + 20Bsen3t= 5cos3t

-25Acos3t – 25Bsen3t = 5cos3t

-25Bsen3t = 0

A= (-5cos3t)/-25cos3t  

A= -1/5    B=0

Xp(t)= -1/5 cos 3t                                              C1= 1/5 +.02 = .22

Xo=C1cos2t + C2sen2t -1/5 cos3t                     C2 = 0

X(t)= .22 sen2t – 1/5 cos 3t

X´(t)= .44cos 2t – 3/5 sen 3t

...