Desigualdades Lineales y Cuadráticas

TEMA1. Desigualdades Lineales y Cuadráticas (10 horas)

1.1 Propiedades de las desigualdades

El orden en los números reales.

Si 𝑎 𝑦 𝑏 son dos números reales se dice que 𝐚 es menor que 𝐛 si y solo si la diferencia 𝑏 − 𝑎 es un número real positivo, y se escribe 𝑎 <        𝑏 si y solo si 0 < 𝑏 − 𝑎 .

En la recta real, la desigualdad 𝑎 <        𝑏 se representa como un número 𝒂 a la izquierda de un número 𝒃.

De la misma manera se dice que un número 𝐚 es menor o igual que 𝐛 si y solo si la diferencia 𝑏 −

𝑎 es un número real no negativo, esto es 𝑎 ≤        𝑏 si y solo si 0 ≤ 𝑏 − 𝑎 .

Se dice que los números 𝑎 𝑦 𝑏 son iguales si la diferencia 𝑎 – 𝑏 es cero, es decir 𝑎 =        𝑏 si y solo si 𝑏 − 𝑎 = 0 .

AXIOMAS DE ORDEN EN 𝑹

Sean 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝑹

Axioma 10. Ley de tricotomía

Se cumple una y solo una de las siguientes condiciones 𝑎 <        𝑏 , 𝑎 =        𝑏 , 𝑎  >        𝑏

Nota: 𝑎 >        𝑏 significa 𝑏 < 𝑎

Axioma 11. Si 𝑎 <        𝑏 , entonces 𝑎 + 𝑐 <        𝑏 + 𝑐 para cualquier 𝑐 ∈ 𝑹

Axioma 12. Si 0 < 𝑎        y  0 < 𝑏        entonces 0 < 𝑎𝑏

Axioma 13. Propiedad de transitividad

Si  𝑎  <        𝑏 y        𝑏 < 𝑐 entonces 𝑎 < 𝑐

Teorema 1.2 Otras propiedades de orden

1. Si 𝑎 <        𝑏 y 0 < 𝑐 entonces 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐

2. Si 𝑎 < 𝑏 y 𝑐 < 0 entonces 𝑏𝑐 < 𝑎𝑐

3. Si y 0 < 𝑏        entonces 0 < 𝑎 + 𝑏

4. Si 0 < 𝑎 < 𝑏 𝑦 0 < 𝑐 < 𝑑 entonces 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑

5. Si 0 < 𝑎 < 𝑏 𝑦 0 < 𝑐 < 𝑑 entonces 𝑎𝑐 < 𝑏𝑑

1.3 Desigualdades lineales y dobles

Definición de desigualdad en una variable. Una desigualdad en una variable. Una desigualdad en una variable es una expresión de la forma 𝑓(𝑥) < 0, donde < es cualquiera de las relaciones de orden <, >, ≤ 𝑜 ≥.

Resolver una desigualdad significa determinar el conjunto de números reales que la satisfacen. Una desigualdad o inecuación tiene infinitas soluciones es en forma de intervalo o unión de intervalos de números reales.

Ejemplo 1. Resolver las siguientes desigualdades. Encontrar el conjunto solución y representarlos en forma de intervalo y graficarlos en la recta numérica.

1.1 −3𝑥 + 2 < 4𝑥 + 10

Solución: −3𝑥 + 2 − 2 < 4𝑥 + 10 − 2 Por el axioma 11 sumar −2

−3𝑥 < 4𝑥 + 8        Simplificar

−3𝑥 − 4𝑥 < 4𝑥 − 4𝑥 + 8        Por el axioma 11 sumar −4

−7𝑥 < 8        Simplificar

− 1 (−7𝑥)[pic 1]

7

𝑥 > − 8[pic 2]

7

> − 1

7[pic 3]

1. Teorema 1.2 inciso 2, multiplicar por − 1 7

Simplificar[pic 4]

− 8 < 𝑥        De manera equivalente[pic 5]

7

8

𝑥 ∈ (−[pic 6]

7

, ∞)        En forma de intervalo

1.2.        −𝑥 + 5 ≤ −6𝑥 − 7

Solución: −𝑥 + 5 − 5 < −6𝑥 − 7 − 5        Por el axioma 11 sumar −5

−𝑥 ≤ −6𝑥 − 12        Simplificar

−𝑥 + 6𝑥 ≤ −6𝑥 + 6𝑥 − 12        Por el axioma 11 sumar 6𝑥 5𝑥 ≤ −12        Simplificar

1 (5𝑥) ≤[pic 7]

5

1 (−12)        Teorema 1.2 inciso 1, multiplicar por 1

5        5[pic 8][pic 9]

𝑥 ≤ − 12[pic 10]

5

Simplificar

𝑥 ∈ (− ∞, − 12]        En forma de intervalo[pic 11]

5

Desigualdades Dobles.

Ax + B ≤ Cx + D ≤ Ex + F

Para este tipo de desigualdades tenemos dos casos:

Caso 1: La desigualdad

B ≤ Cx + D ≤ F , la cual se pueden resolver ambas al mismo tiempo

quedando de la forma

G ≤ x ≤ H , la solución será el intervalo que satisfaga dicha desigualdad.

Ejemplo 2. Encontrar el conjunto solución de la desigualdad -3 ≤ 2 − 5x ≤ 12

Solución: Resolveremos la desigualdad al mismo tiempo, para encontrar el intervalo que satisface esta desigualdad,

-3 ≤ 2 − 5x ≤ 12[pic 12]

-3 -2 ≤

2 – 5x – 2 ≤

12 – 2        restar 2

-5        ≤

-5x

≤        10

− 5 ≥ − 5x ≥ 10

[pic 13]        [pic 14]        [pic 15]

− 5        − 5        − 5

Dividir por –5

Figura 1.6

1 ≥ x ≥ −2

Luego el intervalo solución es [-2,1]. (Véase figura 1.6)

2.1 4 <

2𝑥−8

[pic 16]

4

≤ 8

2𝑥−8

Solución: 4(4) < ([pic 17]

4

)(4) ≤ 8(4)        Teorema 1.2 inciso 1, multiplicar por 4

(24) <[pic 18][pic 19]

(2𝑥) ≤

1. Teorema 1.2 inciso 1, multiplicar por 1 2

2.2        − 3 <

5−𝑥 ≤ 7

2[pic 20]

Solución: 𝟐(−3) < 2(5−𝑥) ≤ 2(7) Teorema 1.2 inciso 1, multiplicar por 2[pic 21][pic 22]

−𝟔 < 5 − 𝑥 ≤ 14        Simplificar

−𝟔 − 𝟓 < 5 − 5 − 𝑥 ≤ 14 − 5        Por el axioma 11 sumar 5

−𝟏𝟏 < −𝑥 ≤ 9        Simplificar

−(−𝟏𝟏) > −(−𝑥) ≥ −(9)        Teorema 1.2 inciso 2, multiplicar por −1

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