Desigualdades lineales y cuadráticas
Bayardo BustosResumen3 de Octubre de 2016
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Modulo de clase
Modalidad: Secundaria a distancia Fecha:
Instituto: 15 de Septiembre/Rio Mena/Cárdenas Materia: Matemática Nivel: 11vo Grado
Duración: 90 Min Docente: Lic. Bayardo Bustos Flores No de encuentros: 1 al 10
I Unidad: Desigualdades lineales y cuadráticas
Contenidos: Notación de intervalos. Notación de desigualdades. Conjunto solución. Operaciones con intervalos. Propiedades de las desigualdades. Resolución de desigualdades. Desigualdades lineales. Desigualdades cuadráticas. Valor absoluto. Desigualdades con valor absoluto.
Objetivos a alcanzar: 1- Identifica la notación de intervalos y de desigualdades de manera contextualizada. 2- Utiliza y aplica propiedades, notación de intervalos y de desigualdades para dar solución de ejercicios relacionados con la vida real. 3- Utiliza y aplica propiedades para resolver desigualdades lineales y cuadráticas. 4- Resuelve y encuentra el conjunto solución de desigualdades lineales con valor absoluto.
Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en los otros corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional.[pic 1]
Intervalo abierto
No incluye los extremos.
- [pic 2] o bien [pic 3]
- Notación conjuntista o en términos de desigualdades:
[pic 4]
En la definición de límite de una función real se considera como dominio un intervalo abierto.
En la topología usual de la recta ( o ℝ) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de ℝ, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto
Intervalo cerrado[pic 5]
Sí incluye los extremos.
- Que se indica: [pic 6]
- Notación conjuntista o en términos de desigualdades. Incluye únicamente uno de los extremos.[pic 7]
- Con la notación [pic 8] o bien [pic 9] indicamos. En notación conjuntista:[pic 10]
[pic 11]
- Y con la notación [pic 12] o bien [pic 13], En notación conjuntista:
[pic 14]
Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud |b- a|. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudio de diferentes operadores como clausura, interior, frontera, conexidad, etc.
Intervalo infinito[pic 15]
Incluye un extremo e infinito por la derecha.
- Con la notación [pic 16] indicamos. En notación conjuntista:
[pic 17]
[pic 18]
Sin incluir el extremo:
- Y con la notación [pic 19], [pic 20]
[pic 21]
Incluye un extremo e infinito por la izquierda.
- Con la notación [pic 22] indicamos. En notación conjuntista:
[pic 23]
Sin incluir el extremo:[pic 24]
- Y con la notación [pic 25], En notación conjuntista:
[pic 26]
[pic 27]
Para todo valor real:
- Y con la notación [pic 28], En notación conjuntista:
[pic 29]
Operaciones con intervalos
En notación conjuntista: supongamos el conjunto [pic 30]
Esto se lee: A son todos los x reales tales que x es menor que cuatro.
Y el conjunto [pic 31]
El conjunto B abarca todos los x, reales, mayores que nueve.[pic 32]
El conjunto unión de A y B sería:
[pic 33]
O también se puede anotar:
[pic 34]
La unión de dos o más conjuntos es tomar todos los puntos pertenecientes a cada conjunto.[pic 35]
El conjunto intersección de A y B no existe:
[pic 36]
porque A y B no tienen puntos en común.
[pic 37]
Definido el conjunto:[pic 38]
Es decir, que el conjunto C toma valores entre -3 y 15, siempre siendo x un número real.[pic 39]
El conjunto intersección de A y C es:
[pic 40]
El conjunto intersección es aquel que toma los valores en común entre todos los conjuntos incluidos.
Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).
La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo:
Notación | Intervalo | Longitud | Descripción |
[pic 41] | [pic 42] | [pic 43] | Intervalo cerrado de longitud finita. |
[pic 44] | [pic 45] | [pic 46] | Intervalo semiabierto (cerrado en a, abierto en b). |
[pic 47] | [pic 48] | [pic 49] | Intervalo semiabierto (abierto en a, cerrado en b). |
[pic 50] | [pic 51] | [pic 52] | Intervalo abierto. |
[pic 53] | [pic 54] | [pic 55] | Intervalo semiabierto. |
[pic 56] | [pic 57] | [pic 58] | Intervalo semiabierto. |
[pic 59] | [pic 60] | [pic 61] | Intervalo semiabierto. |
[pic 62] | [pic 63] | [pic 64] | Intervalo semiabierto. |
[pic 65] | [pic 66] | [pic 67] | Intervalo a la vez abierto y cerrado. |
[pic 68] | [pic 69] | [pic 70] | Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado). |
[pic 71] | x no existe | Sin longitud. | Conjunto vacío. |
Desigualdad
No debe confundirse con inecuación.[pic 72]
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
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