Didáctica de matemáticas

Didáctica de matemáticas

Aportes y reflexiones

Cecilia Parra e Irma Saiz (comps.)

Editorial Paidós Educador

Primera edición, 1994

Quinta reimpresión, 1997

Buenos Aires

Este material se utiliza con fines exclusivamente didácticos

ÍNDICE

Lista de autores 9

Prólogo 11

1. Matemática para no matemáticos, por Luis A. Santaló 21

2. La didáctica de las matemáticas, por Grecia Gálvez 39

3.Aprender (por medio de) la resolución de problemas, por Roland Charnay 51

4. Los diferentes roles del maestro, por Guy Brousseau 65

5. El sistema de numeración: un problema didáctico, por Delia Lerner y Patricia Sadovsky 95

6.Dividir con dificultad o la dificultad de dividir, por Irma Saiz 185

7.Cálculo mental en la escuela primaria, por Cecilia Parra 219

8.La geometría, la psicogénesis de las nociones espaciales y la enseñanza de la geometría

en la escuela elemental, por Grecia Gálvez 273

CAPÍTULO V

EL SISTEMA DE NUMERACIÓN: UN PROBLEMA DIDÁCTICO

Delia Lerner y Patricia Sadovsky,

con la colaboración de Susana Wolman

Donde se expresa nuestro reconocimiento hacia:

–Emilia Ferreiro, porque sus investigaciones pioneras –aunque ya clásicas–sobre el sistema de escritura permitieron vislumbrar la reconstrucción de otros sistemas de representación por parte de los niños.

–Guy Brousseau, porque sus investigaciones nutren nuestro trabajo y nos obligan a repensar una y otra vez la didáctica de la matemática.

–Todos aquellos que –como G. Sastre, M. Moreno y, sobre todo, Anne Sinclair– estudiaron la representación numérica desde una perspectiva psicogenética.

–Los maestros y los chicos que, con sus afirmaciones y sus interrogantes, hacen crecer día a día la propuesta que llevamos a la práctica.

–Las escuelas que albergan nuestro trabajo: Aequalis, Martin Buber, Numen, jardín de Infantes Municipal de Wilde.

–Raquel Gutman, por su colaboración en la primera etapa de esta investigación.

I. De cómo y por qué se inició la investigación que es objeto de estas páginas

Había que encontrar una respuesta. A pesar de los diversos recursos didácticos puestos en juego, el acceso de los niños al sistema de numeración seguía constituyendo un problema. A pesar de nuestros esfuerzos por materializar la noción de agrupamiento –no sólo en base diez, sino también en otras bases–, la relación entre esas agrupaciones y la escritura numérica seguía siendo un enigma para los niños.

Pero la cuestión era más grave aún: al entrevistar niños con los que no trabajábamos didácticamente, constatamos una y otra vez que los famosos “me llevo uno” y “le pido al compañero” –ritual inherente a las cuentas escolares– no tenían ningún vínculo con las unidades, decenas y centenas estudiadas previamente. Esta ruptura se manifestaba tanto en los niños que cometían errores al resolver las cuentas como en aquellos que obtenían el resultado correcto: ni unos ni otros parecían entender que los algoritmos convencionales están basados en la organización de nuestro sistema de numeración (Lerner, D., 1992).

Estas dificultades, lejos de ser una particularidad de los niños con los que hemos trabajado, fueron detectadas y analizadas en el marco de estudios realizados en otros países (Kamii, C. y Kamii, M., 1980/1988; Sellares, R y Bassedas, M., 1983; Bednarz B. y Janvier, B., 1982). Al constatar que los niños no comprenden cabalmente los principios del sistema, diversos investigadores proponen alternativas didácticas también diferentes. De este modo, Kamii sugiere postergar la enseñanza de las reglas del sistema de numeración, en tanto que Bednarz y Janvier intentan perfeccionar el trabajo sobre el agrupamiento explicitándolo a través de distintas materializaciones y planteando situaciones en las que agrupar resulte significativo por ser un recurso económico para contar rápidamente cantidades grandes.

Ninguna de estas dos propuestas toma en cuenta un hecho que la didáctica constructivista no puede ignorar: dado que la numeración escrita existe no sólo dentro de la escuela sino también fuera de ella, los niños tienen oportunidad de elaborar conocimientos acerca de este sistema de representación desde mucho antes de ingresar en primer grado. Producto cultural, objeto de uso social cotidiano, el sistema de numeración se ofrece a la indagación infantil desde las páginas de los libros, las listas de precios, los calendarios, las reglas, los talonarios de la panadería, las direcciones de las casas...

¿Cómo se aproximan los niños al conocimiento del sistema de numeración? Averiguarlo era un paso necesario para diseñar situaciones didácticas que dieran oportunidad a los chicos de poner en juego sus propias conceptualizaciones y confrontarlas con las de los otros, que les permitieran elaborar diversos procedimientos y explicitar argumentos para justificarlos, que los llevaran a descubrir lagunas y contradicciones en sus conocimientos, que brindaran elementos para detectar los propios errores, que –en suma– los obligaran a cuestionar y reformular sus ideas para aproximarse progresivamente a la comprensión de la notación convencional.

Era necesario entonces –antes de elaborar una propuesta didáctica y someterla a prueba en el aula– emprender un estudio que permitiera descubrir cuáles son los aspectos del sistema de numeración que los niños consideran relevantes, cuáles son las ideas que han elaborado acerca de ellos, cuáles son los problemas que se han planteado, cuáles son las soluciones que han ido construyendo, cuáles son los conflictos que pueden generarse entre sus propias conceptualizaciones o entre éstas y ciertas características del objeto que están intentando comprender.

Las entrevistas clínicas que realizamos con parejas de niños de cinco a ocho años1 no sólo confirmaron nuestras expectativas –al poner de manifiesto la relevancia de los conocimientos construidos por los chicos sobre la numeración escrita–, sino que además nos depararon una agradable sorpresa: desde un principio fue posible establecer regularidades al analizar los datos que obteníamos.

La aparición y reaparición de ciertas respuestas –ideas, justificaciones, conflictos– fue el disparador que nos llevó a esbozar, antes de lo previsto, posibles líneas de trabajo didáctico. Es por eso que, mientras continuábamos realizando entrevistas clínicas, empezamos a poner a prueba en el aula algunas actividades. Como suele suceder, cuando llevábamos a la práctica cada una de estas actividades, la propuesta se iba ajustando y enriqueciendo: por una parte, nosotros descubríamos nuevos problemas que era necesario resolver; por otra parte, los chicos establecían relaciones y nos sorprendían con preguntas o con procedimientos que abrían nuevas perspectivas para el trabajo didáctico.

Queda mucho camino por recorrer: es necesario dar respuesta a nuevos interrogantes –surgidos a partir de lo que ahora sabemos– sobre el proceso de apropiación de la numeración escrita; es imprescindible también que la propuesta diseñada sea objeto de una investigación didáctica rigurosa que permita elaborar conocimiento válido sobre la enseñanza y el aprendizaje del sistema de numeración en el contexto escolar.

De todos modos, los resultados ya obtenidos son suficientes para poner en tela de juicio el enfoque que hasta ahora se ha dado a la enseñanza del sistema de numeración y para mostrar la eficacia de otra modalidad de enseñanza que favorece una comprensión mucho más profunda y operativa de la notación numérica.

II. Donde se cuenta la historia de los conocimientos que los niños elaboran sobre la numeración escrita

¿Qué conclusiones podrían extraer los chicos a partir de su contacto cotidiano con la numeración escrita? ¿Qué información relevante podrían obtener al escuchar a sus padres quejarse del aumento de los precios, al tratar de entender cómo sabe su mamá cuál de las marcas de un producto es la más barata, al ver que su hermano recurre al almanaque para calcular los días que aún faltan para su cumpleaños, al alegrarse porque en la panadería “ya van por el treinti” y su papá tiene el treinta y cuatro, al preguntarse qué tiene que ver la dirección que escribió su mamá (Córdoba 4859) con la indicación que le está dando a su hermana (“tenés que bajar al cuatro mil ochocientos”) ... ? Dicho de otro modo: ¿qué podrían aprender los chicos al presenciar situaciones en las que los usuarios del sistema de escritura que los rodean nombran, escriben y comparan números? Preguntas como éstas nos hacíamos antes de iniciar la investigación.

Suponíamos que los niños construían tempranamente criterios para comparar números; pensábamos que –mucho antes de sospechar la existencia de centenas, decenas y unidades– alguna relación debían establecer entre

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