Dinámica de la Cuerda Bosónica Circular

Dinámica de la Cuerda Bosónica Circular

Física Avanzada

Instituto tecnológico de Mérida

Jean Pierre Edgardo Perera Montejo

29 de abril de 2016

Resumen

Se estudian las ecuaciones dinámicas de una cuerda bosónica cerrada y se resuelve dichas ecuaciones haciendo uso de la ley de conservación de la energía.

Palabras claves: Teoría de cuerdas, cuerdas bosónicas, teoría de supercuerdas.

1. Introducción

En la última década del siglo pasado, uno de los mayores problemas de la física de altas energías consistía en encontrar una descripción consistente para el mundo a escala sub-atómica, en las últimas décadas, se puede decir, que las teorías que han tenido más preponderancia en la física teórica son la teoría cuántica de campos y la relatividad general. Sin embargo, estas teorías no se complementan cuando se las aplica al mismo ámbito de la física. En este contexto, la teoría que contiene las mejores características para la unificación de todas las fuerzas es la teoría de cuerdas y por ende la unión de la teoría gravitacional de Einstein y la Mecánica Cuántica.

La teoría de cuerdas es una teoría cuántica  en la cual sus constituyentes fundamentales son objetos matemáticos extensos, unidimensionales, descritos en un espacio-tiempo multidimensional.

La teoría de cuerdas bosónicas considera a todos sus partículas como bosones reteniendo propiedades como la ausencia de fermiones. Los físicos han calculado que, para su consistencia, la teoría de cuerdas bosónicas  requiere de 26 dimensiones espacio-temporales [1,2].

Y. Nambu y T. Goto [3,4] propusieron que la acción mas simple para una cuerda bosónica seria proporcional al área descrita por la cuerda cuando ella evoluciona en el espacio-tiempo, de donde se deduce que la acción de Nambu-Goto presenta la forma

[pic 1],                                                         (1)

donde [pic 2] es la llamada tensión de la cuerda, [pic 3], [pic 4] es la inclinación de Regge, siendo [pic 5], donde [pic 6] es la longitud de la cuerda.

La existencia de la raíz en la acción de Nambu-Goto (1) introduce dificultades en el cálculo, utilizando una métrica intrínseca auxiliar [5,6] de la hoja de mundo obtenemos una acción equivalente, llamada acción de Polyakov [7] dada por:

[pic 7].                                                                     (2)

Las cuerdas bosónicas pueden ser abiertas o cerradas. Así como en la cuerda bosónica abierta los campos gauge ocurren naturalmente, en la cuerda bosónica cerrada el campo gravitacional ocurre naturalmente. Resulta, en efecto, que un campo gravitacional, un campo dilatónico y un campo tensorial antisimétrico ocurren en la cuerda cerrada en la misma forma que el campo gauge aparece en la cuerda abierta. El estado fundamental [pic 8] de la cuerda cerrada es un taquión. Los primeros estados excitados son estados másicos de la forma [pic 9] y es la parte simétrica, la traza y la parte antisimétrica de un tensor formado por las [pic 10] que sin identificados con el campo gravitacional, con el dilatón y un tensor de campo antisimétrico respectivamente [8].

En este trabajo estudiamos la dinámica de la cuerda bosónica cerrada; este trabajo fue inspirado en el problema 6.4 del libro: A first course in string theory, Barton Zwiebach, Cambridge University Press, 2004.

1. Velocidad transversal

Existe una velocidad invariante que se puede definir en la cuerda, esta es sin embargo una velocidad transversal. Considerando el movimiento espacial de la cuerda, se puede considerar que cada punto en la cuerda se mueve transversalmente a ella. La velocidad transversal [pic 11] en cada punto de la cuerda es un vector ortogonal a la misma y tangente a la superficie espacial de la cuerda [9], esto es:

[pic 12].                                                                                (3)

Para el caso más simple de cuerda bosónica cerrada, que corresponde a una del tipo circular, la magnitud de la velocidad transversal no es más que la razón de cambio en el tiempo de su radio

[pic 13].                                                                                          (4)

Ahora concentraremos nuestra atención en escribir la acción (1) en términos de la velocidad transversal antes descrita.

Podemos escribir las coordenadas [pic 14] de la siguiente manera:

[pic 15],                                                                (5)                                                                          

donde se ha considerado el gauge estático [10]: [pic 16].

Usando la ecuación (5) y la definición (3), podemos calcular los productos punto relativistas que aparecen en la ecuación (1), de esta manera:

[pic 17],      [pic 18],      [pic 19],                  (6)

reemplazando (6), en la acción de Nambu-Goto (1), obtenemos:

[pic 20],                                                                                 (7)

que es la acción de Nambu-Goto (1) escrita en términos de la velocidad transversal.

1. Ecuación dinámica

El Lagrangiano correspondiente a nuestro sistema en estudio es, según la ecuación (7):

[pic 21],                                                                                        (8)

este depende de [pic 22] y [pic 23], y además el sistema posee un solo grado de libertad. Haciendo uso de la ecuación de Euler-Lagrange, la ecuación de movimiento correspondiente a la cuerda bosónica circular cerrada será:

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