Distribuciones de variables continuas. Distribución Normal

INFORMACIÓN BÁSICA

NOMBRE DE LA PRÁCTICA:

Distribución Normal

PRÁCTICA No.: 10

ASIGNATURA:

Estadística

TEMA DE LA PRÁCTICA:

Distribuciones de variables continuas. Distribución Normal

LABORATORIO A UTILIZAR:

 Laboratorios de Sistemas UMB A402-A415.

TIEMPO: 2 (horas)                    TRABAJO GRUPAL:            TRABAJO INDIVIDUAL:

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CONTENIDO DE LA GUÍA

(Para elaborar por el Docente)

COMPETENCIAS DISCIPLINARES.

1. Clarifica conceptos respecto al cálculo de probabilidades de la distribución Normal
2. Analiza el funcionamiento y aplicaciones de una hoja de cálculo en Microsoft Excel, para la estimación de probabilidades de la distribución Normal.

COMPETENCIAS INVESTIGATIVAS.

Identifica problemas de aplicación en investigación que requieren el uso de software (Excel), como herramienta para determinar probabilidades asociadas a la distribución normal.

MARCO TEÓRICO.

La distribución Normal (distribución de probabilidad) aplica para variables aleatorias continúas, como las mencionadas en clase, tales como estatura, tiempo, masa de un cuerpo. Es decir, cuando mencionamos que una variable aleatoria CONTINÚA se distribuye de forma NORMAL, queremos indicar que los valores más comunes que toma la variable se concentran alrededor de la media y que los menos comunes se alejan de la media.

Ejemplo: Si observamos y registramos la estatura de 1000 mujeres, de forma aleatoria (encuestando en un parque o en una estación de Transmilenio), en una ciudad como Bogotá, nos vamos a encontrar que muchas mujeres tienen una estatura que oscila alrededor de 1,65 m, también observaremos, que se encuentran mujeres con estaturas que oscilen alrededor de 1,6 m y/o 1,7 m, pero en menor cantidad. También vamos a encontrar mujeres con estaturas que oscilan alrededor de 1,55 m y/o 1,75 m, muy pocas, pero habrá registros con estas estaturas. Lo que se pretende con el ejemplo, es mostrar como una variable aleatoria continua se distribuye en probabilidad, es decir, si yo encuesto aleatoriamente una mujer, lo más probable es que su estatura oscile alrededor de 1,65 m, con menor probabilidad que su estatura oscile alrededor de 1,7 m y mucho menos probable que su estatura este alrededor de 1,75 m o más. Se le llama Normal a la distribución porque es Normal encontrar muchas variables aleatorias continuas que se comporten así.

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Retomando nuestro ejemplo (hipotético) anterior, en la gráfica de distribución de probabilidad normal, podemos observar que la probabilidad (altura de las líneas rojas) de encontrar mujeres con estaturas de 1,76 m, es menor al 1%, que encontrar mujeres con estaturas de 1,58 m, tiene una probabilidad de 0.03 o 3% y que lo más probable, el 8% (altura máxima de la montañita) es encontrar mujeres con estaturas de 1,65 m. A continuación, se presenta el modelo formal.

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Recuperado de “Estadística para administración y economía”, de Anderson D., Sweene D., Williams T., 2008, p. 232, México, D.F.: Cengage Learning.

Hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que sigue el modelo de la normal.

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Microsoft Excel nos permite calcular la probabilidad de una variable aleatoria continua que sigue una distribución normal tanto con una media µ y desviación σ de cualquier valor, es decir N(µ, σ), como los valores de una normal tipificada o estandarizada, N(0,1), cuya media equivale a 0 y desviación 1. A su vez, también nos permite conocer cómo se estandarizan o tipifican las variables.

CONSULTA PREVIA.

1. Usando las tablas de distribución de probabilidad para la variable aleatoria normal estandar. Determinar la probabilidad de cada uno de los siguientes ejercicios. (IMPORTANTE: las respuesta deben ser expresadas usando cuatro decimales y usando el valor de la tabla presentada en la sesión teórica. Usar otras tablas o herramientas computaciones podrían conducirlo a un error.)
   

1. El centro metereológico de una ciudad ubicada en el noreste de Europa estima que la temperatura máxima que se experimentará cada día del mes de junio sigue una distribución normal, con media 23°C y desviación típica 5°C. Calcular el NÚMERO ESPERADO de días del mes en los que se espera que la temperatura máxima se encuentre entre los 21° y 27° grados centigrados.

1. En Chile, la organización mundial de la salud (OMS) ha establecido que el índice de masa corporal promedio en la población de hombres entre los 20-40 años, sigue una distribución normal como se muestra en la siguiente gráfica.
   
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La OMS ha expresado a su preocupación respecto a las políticas de salud implementadas en el país, indicando que estan muy cerca de cruzar el umbral de sobrepeso. Usando la imagen de la distribución normal, ¿qué porcentaje de la población en Chile se encuentra en el rango de peso normal?

PALABRAS CLAVE: Distribución Normal, distribución de probabilidad.

METODOLOGÍA.

El docente encargado de los laboratorios realizará las siguientes acciones para la realización de las prácticas de laboratorio.

El estudioso debe realizar preliminarmente el cuestionario “Consulta previa Laboratorio 10” en su plataforma Aulanet.

Llamado de lista y preparación de proyección: se contará con 15 minutos para que el docente prepare el material para la exposición del manejo de la herramienta ofimática establecida y hacer el llamado de lista. Pasado este tiempo, se desactivará la consulta previa del laboratorio correspondiente y no se permitirá realizar éste de manera posterior.

Se procede a la orientación directa de la herramienta ofimática, mostrando en cada caso los códigos y procedimientos requeridos para la generación de resultados de interés según las temáticas estudiadas en la clase teórica. Para esta muestra se contará con una base de datos similar a la considerar para el desarrollo de las actividades de los estudiosos. Esta actividad tiene un tiempo máximo de 45 minutos.

Se dará un tiempo de 15 minutos para que los estudiosos revisen la base de datos que contiene la información para la solución y réplica de la práctica, pasado este tiempo se procede a la activación del cuestionario “Quiz Laboratorio 10” y se da tiempo de 30 minutos para su solución.

Finalmente, el estudioso deberá realizar el cuestionario de autoevaluación, cerrar su sesión de Aulanet y salir del laboratorio después de dejar los equipos en orden.

Para el desarrollo de la práctica, descargue la base de datos “Base de datos Laboratorio 10”, esta base de datos presenta 2 variables (padre e hijo) acerca de la masa corporal de 928 individuos.

El estudioso deberá seguir las indicaciones realizadas en clase previamente, para poder sacar conclusiones de normalidad acerca de los datos propuestos en la base de datos.

La práctica de laboratorio se desarrollará de manera individual. El trabajo realizado será enviado por los estudiantes al Aulanet del profesor encargado de la asignatura, tal entrega corresponde a la guía de laboratorio debidamente diligenciada y el archivo de EXCEL utilizado para la solución de esta.

Durante la práctica el profesor asumirá el rol de guía en la elaboración de fórmulas y gráficos en EXCEL, de tal manera que se le permita al estudiante conocer las herramientas específicas del programa (por ejemplo, las tablas dinámicas) para la elaboración de tablas de frecuencia de datos agrupados. Luego de la instrucción, se propondrán ejercicios para que los estudiantes exploren y pongan en práctica las herramientas del programa de manera autónoma en situaciones que requieran de construcción de tablas de frecuencia.

MATERIALES, EQUIPOS Y REACTIVOS A UTILIZAR

PRECAUCIONES Y MANEJO DE MATERIALES Y EQUIPOS. CONSULTA DE EQUIPO ESPECIALIZADO.

Para el inicio de las actividades de la práctica de laboratorio de sistemas, recuerde las siguientes indicaciones:

Indicaciones generales para manejo de riesgo eléctrico:

• Durante la permanencia en el laboratorio, el practicante debe certificar que se cumple y se sigue con el Reglamento Técnico de Instalaciones Eléctricas (RETIE), Resolución 18 0398 de 7 de abril de 2004 y Resolución 18 1419 de 1 de Noviembre de 2005 del Ministerio de Minas y Energía.(artículo 5. Riesgos eléctricos) RETIE
• Revisar que el área de trabajo este despejada sin elementos ajenos a la práctica, disponer materiales de forma organizada.
• No ingresar líquidos o alimentos al área de laboratorio, que puedan causar riesgos de cortos o afectar los resultados de la práctica.
• No ingresar al laboratorio bajo el efecto de substancias psicoactivas o alcohólicas.

Indicaciones para manejo de los equipos de laboratorio de sistemas y materiales:

• Cumplir con el REGLAMENTO DE UTILIZACIÓN DE LOS LABORATORIOS DE SISTEMAS DE LA UMB.
• Revise que los equipos en préstamo funcionen correctamente en el momento de solicitarlos en el almacén, de lo contrario perderá tiempo en la realización de la práctica o en caso más grave, hacer la reposición de un equipo que usted no averió.
• Mantenga el orden ubicándose exclusivamente en el banco de trabajo asignado por los laboratoristas. No cambie el banco de trabajo sin la autorización de estos.
• Por su seguridad y la de sus compañeros, esté atento a los equipos tomados en préstamo, así como sus propios materiales y objetos personales.
• Consulte con el docente cualquier duda que tenga respecto al uso correcto de los equipos. Recuerde que deben ser manipulados adecuadamente para evitar daños y fallas de funcionamiento.
• Concéntrese en el trabajo que esté realizando en la práctica de laboratorio. Las distracciones pueden poner en riesgo su integridad física y la de sus compañeros.
• No ingresar a internet si autorización del docente.
• No ejecutar programas en los equipos sin autorización del docente o un técnico de laboratorio.
• No instalar en los equipos Software de ninguna índole.
• No trasladar equipos de cómputo de su módulo sin autorización del personal del área.
• No realizar actividades que afecten el buen desarrollo de la práctica de laboratorio.

Otros aspectos que se deben tomar en cuenta están regidos por el Reglamento Estudiantil y de Laboratorios Vigentes.

TIPO DE RIESGO: BAJO

PROCEDIMIENTO A UTILIZAR.

1. Variable Normal N(µ, σ)

La función =DISTR.NORM(x;media;desv_estándar; acum), permite obtener la probabilidad acumulada en una distribución normal de parámetros  (media) y  (desviación estándar) hasta un valor “x”, ( ). Recordemos que la distribución normal tiene un gran número de aplicaciones en estadística, incluidas las pruebas de hipótesis que se trabajaran posteriormente en este curso de estadística. [pic 9][pic 10][pic 11]

Los parámetros a definir son:

•x es el valor cuya distribución desea obtener (xi = a).

•Media es la media aritmética de la distribución (parámetro μ).

•Desv_estándar es la desviación estándar de la distribución (parámetro σ).

•Acum es un valor lógico que determina la forma de la función. Si el argumento Acum es VERDADERO, la función DISTR.NORM devuelve la función de distribución acumulada, es decir, el área bajo la curva de la distribución normal desde menos infinito hasta el valor que hemos indicado en el espacio x; si es FALSO, devuelve la función de masa de probabilidad. (IMPORTANTE: recuerde que la probabilidad de que una variable aleatoria continua adquiera un valor específico es 0, no corresponde a la función de masa de probabilidad).

EJEMPLO:

En el 2009, un grupo de investigadores chilenos conformado por dos profesores del laboratorio de antropología física y anatomía humana de la Pontifica Universidad Católica de Valparaíso (Chile) y un nutricionista de la Universidad de Chile, realizaron un análisis antropométrico de los jugadores de voleibol de las selecciones nacionales adultas masculinas de Colombia, Paraguay, Uruguay, Venezuela y Chile, con el fin de reconocer las características antropométricas que definen ciertos comportamientos mecánicos permitiendo un mayor desempeño en los partidos. (Almagià, e.t., 2009)

De las cinco selecciones estudiadas, la selección venezolana destacó por encima de las otras debido a los resultados obtenidos no solo en victorias sino en el desempeño individual de cada uno de sus atletas. Al comparar los indices antropométricos de las selecciones se evidencio una diferencia significativa de la selección vinotinto entre las otras, en el porcentaje de masa muscular. Sus resultados seguían una distribución normal con una media de 53.23 y una desviación estándar de 2.57. Con esta información responda las siguientes preguntas.

1. El promedio de masa muscular de la selección chilena fue de 49.09, ¿cuál es la probabilidad de encontrar un jugador de la selección venezolana que se encuentre por debajo del promedio de masa muscular de la selección chilena?
   

La pregunta a responder sería:

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Para la solución de este ejercicio resulta importante reconocer los parámetros involucrados, es decir, la media y la desviación típica. Valor a evaluar x=49.09, media = 53.23 y desviación estándar =2.57. Con esta información nos dirigimos a nuestra hoja de cálculo y usamos la fórmula de la distribución normal mencionada previamente.

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Con esta fórmula obtenemos que la probabilidad sería de 0.053601.

1. De los 6 jugadores de la selección colombiana que se presentaron en el estudio, el rango del porcentaje de masa muscular se encontraba entre 46.60 y 56.76. ¿Cuál es la probabilidad que un jugador de la selección venezolana se encuentre entre estos valores?

Para este ejemplo, se busca determinar la probabilidad que el valor se encuentre entre ambos parámetros. Debido a las propiedades de las distribuciones continuas, lo podemos reescrbir como la diferencia de las probabilidad acumuladas hasta cada valor. NO SE DEBE RESTAR UNO COMO OCURRÍA CON LAS VARIABLES DISCRETAS. Es decir:

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Al realizar esta operación en EXCEL, veríamos lo siguiente.

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Obteniendo que la probabilidad de este evento sería de 0.91.

1. En la selección paraguaya, el deportista que registró el valor más alto de masa muscular obtuvo un porcentaje de 53.82. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un deportista del equipo de voleibol de la selección venezolana que supere el porcentaje de masa muscular alcanzado por los jugadores de la selección guaraní?

En este ejemplo, se pregunta por la probabilidad:

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Como EXCEL solamente calcula la probabilidad acumulada hasta el valor, usaremos la fórmula del complemento para realizar esta operación. En términos algebraicos, vamos a replantear el problema de la siguiente forma:

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Así, al reescribir el problema en nuestra herramienta computacional quedaría como:

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Obteniendo que la probabilidad de este caso es de 0.409212.

1. Proceso de Normalización

En las ciencias de la salud y ciencias humanas, otra aplicación de la distribución normal consiste en la busqueda de equivalencias entre dos pruebas o test. Esta aplicación requiere de un proceso conocido como normalización o estandarización. Veamos un ejemplo con los resultados de los examenes saber PRO de los años 2016, 2017 y 2018.

EJEMPLO:

Los exámenes estandarizados son elaboradas con el fin de clasificar el rendimiento académico mediante una serie de preguntas que han sido certificadas mediante diferentes procesos como los propuestos por la psicometría TRI (Teoría de Respuesta al Ítem). Una de las principales características que se buscan con estas pruebas es que sigan una distribución normal, como por ejemplo el caso de la prueba Saber Pro aplicada a los estudiantes de todas las instituciones de educación superior. A continuación se presentan los resultados de un grupo de referencia seleccionado por el ICFES que permite contrastar los resultados de los últimos tres años.

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Tomada de ICFES (2018,p.19).

Como cada año, las preguntas, las poblaciones y el nivel de dificultad es variable, no es posible comparar de forma directa los puntajes de cada año. Para efectuar una comparación más acorde se usa el proceso de normalización. Veamos.

1. Suponga que un estudiante de psicología en el grupo de referencia obtuvo un puntaje de 200 en la prueba del año 2016. ¿Cuál sería el puntaje equivalente a la prueba del 2018?

Lo primero que debemos determinar es la probabilidad acumulada a ese evento en el año 2016. En este caso los datos son x=200, media=205 y desviación=34. Con ello obtenemos que  se puede calcular como:[pic 20]

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Obteniendo un resultado de 0,441543. En este caso, estamos afirmando que el estudiante de psicología con ese puntaje estuvo en el percentíl 44 o en otras palabra, su puntaje fue mayor o igual al 44% de la población. Ahora, veamos que puntaje tendría exactamente esa proporción en el 2018. Para ello vamos a usar la fórmula INV.NORM(probabilidad, media, desv_estándar) que nos realiza el recálculo a las nuevos parámetros. En este caso, los parámetros serían probabilidad=0,441543, media=216 y desviación=40. Obteniendo:

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Es decir, el puntaje en el 2018 sería 210. Así, una institución educativa que ofrezca una beca de estudio entre un egresado del 2018 y del 2016, puede realizar una comparativa entre quien estaría mejor ubicado.

1. Una institución universitaria que pertenecía al grupo de estudio usado en las estadísticas del ICFES relacionadas en la tabla 7 desea realizar un reconocimiento a su mejor estudiante respecto en las pruebas Saber Pro. Sus candidatos son: una estudiante de ingeniería con un puntaje de 283, una estudiante de derecho con un puntaje de 295 y un estudiante de enfermería con un puntaje de 241. Estandarice los resultados y determine quien tuvo el mejor rendimiento.

Cuando se tienen resultados en grupos tan diferentes, el valor numérico no solo sirve como indicador para determinar el mejor rendimiento. Vamos a usar la fórmula NORMALIZACIÓN(x;media;desv_estándar) para dejar todos los puntajes como si siguieran una distribución normal estándar y esto nos va a permitir diferenciarlos. Para el primer caso, los valores de los parámetros sería x=283, media=181, desviación=44. Este puntaje normalizado sería:

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Que corresponde a 2.318182. Al realizar el proceso con los otros dos puntajes tenemos un resultado de 1.394737 para derecho y 2.304348 para el estudiante de enfermería. Por tanto, el estudiante con el mejor resultado fue la estudiante de ingeniería, luego el estudiante de enfermería y de terceras fue la estudiante de derecho.

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA.

• Almagià Flores, A. A., Rodríguez Rodríguez, F., Barrraza Gómez, F. O., Lizana Arce, P. J., Ivanovic Marincovich, D., & Binvignat Gutiérrez, O. (2009). Perfil antropométrico de jugadores profesionales de voleibol sudamericano. International Journal of Morphology, 27(1), 53-57.
• Álvarez, Cáceres, Rafael. Estadística aplicada a las ciencias de la salud, Ediciones Díaz de Santos, 2018. ProQuest Ebook Central,

https://ebookcentral-proquest-com.proxy.umb.edu.co/lib/biblioumbsp/detail.action?docID=5426002

• ICFES (2018). Guía de interpretación y resultados del examen Saber Pro. Recuperado el 28 de septiembre del 2019 en:

https://www.icfes.gov.co/documents/20143/177954/guia%20interpretacion%20y%20uso%20de%20resultados%20historicos%20%20sede%20saber%20pro%202018.pdf , p.19.

• Naiman, Arnold, Rosenfeld, Robert, and Zirkel, Gene. Introducción a la estadística. México: McGraw-Hill Interamericana, 1987. ProQuest ebrary. Web. 13 July 2015.
• Peña, Daniel. Fundamentos de estadística. España: Larousse - Alianza Editorial, 2014. ProQuest ebrary. Web. 13 July 2015.

INFORME DE LABORATORIO

 (Para elaborar por el Estudiante)

ESTUDIANTES:

ASIGNATURA:

GRUPO:

NOTA:

CARRERA:                      TRABAJO GRUPAL:                TRABAJO INDIVIDUAL:                              

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FORMULE TRES HABILIDADES QUE DESEE ADQUIRIR O DESARROLLAR A TRAVÉS DE LA PRÁCTICA DE LABORATORIO.

Elabore un Mapa conceptual del tema a tratar en la Práctica de Laboratorio.

RESULTADOS 

1. Siguiendo los registros hospitalarios de los últimos 5 años en una ciudad de Colombia, se ha determinado que en esa población, los bebes están naciendo con un peso promedio de 3.214 kg (SD=0.56).muy por encima del promedio nacional correspondiente 3 kg (SD=0.48). Estos reportajes han llamado la atención de la secretaria de salud del municipio debido a que estos pesos pueden predisponer al bebe a problemas cardiovasculares.

1. ¿Cuál es la probabilidad que un bebe de otra ciudad nazca con un peso menor o igual al promedio registrado en la ciudad?
2. ¿Cuál es la probabildad que un bebe nacido en la ciudad mencionada nazca con un peso menor o igual al promedio nacional?
3. En la ciudad mencionada, el máximo peso registrado ocurrio en el año 2012 con un peso de 6416 gramos. ¿Cuál es la probabilidad que en Colombia nazca otro bebe con un peso superior al registrado?

1. El heptatlón es una competencia de atletismo que consta de siete pruebas que debe realizar un solo deportistas en dos días. En el primer día, la o el atleta debe competir en las pruebas de: 100 metros vallas, salto de altura, lanzamiento de peso (bala) y 200 metros lisos (planos). Al segundo día, se realizan las pruebas de salto de longitud, lanzamiento de jabalina y 800 metros lisos (planos). En cada prueba el o la atleta recibe un puntaje de acuerdo a su rendimiento usando unas tablas elaboradas por la IAAF.

Luego de revisar las estadísticas de las últimas copas mundiales, las ligas de diamante y los juegos olímpicos se ha podido reconocer una tendencia en el segundo día para esta prueba en la división femenina. Los puntajes de los tres días siguen una distribución normal con un puntaje promedio de 2490 (SD=345).

1. Una atleta colombiana que se ha clasificado al los juegos olímpicos de tokio 2020 en el heptatlón llega al certamen internacional con un puntaje promedio de 2654 en su segundo día de competencia. ¿Qué porcentaje de las atletas debe esperar que esten por encima de su registro?.
2. En el año de 1985, la atleta americana Jackie Joyner-Kersee impuso el que hasta el momento siguen siendo el record olímpico y mundial de esta prueba con un puntaje total de 7291 con un performance impecable en su segundo día de 3027, siendo la única en la historia en haber superado los 3000 puntos en el segundo día. ¿Cuál es la probabilidad que una mujer rompa el record del segundo día suponiendo que la puntuación promedio y la desviación no van a variar?
3. En los juegos paramericanos de lima 2019, el rendimiento de las deportistas en el segundo día estuvo entre 2137 y 2435. Debido a esto, solamente la campeona aseguró cupo a los olímpicos de tokio 2020. ¿cuál es la probabilidad que una atleta en una cita orbital, obtenga ese puntaje?

1. La percepción de estrés varia en cada país debido a aspecto como la cultura, el nivel educativo y el tamaño de la población, entre otros. Uno de los métodos diseminados, mas usados a nivel mundial , para medir el estrés corresponde a la escala de percepción del estrés (PSS-4 por sus siglas en inglés). Con esta prueba se puede determinar los factores que la generan y como impacta esta a su salud mental. Esta prueba consta de 4 ítems con una escala likert de 0 a 4 para cada ítem. Luego de aplicarla a 37451 personas en europa y los estados unidos se pudo establecer que el puntaje promedio correspondía a 5.43 con una desviación estándar de 2.96. (Vallejo, et al, 2018).

Con estos resultados y debido a los registros clínicos de los psicólogos que atienden a personas con problemas mentales que también hicieron parte de esta prueba, se pudo establecer que las personas que registraran puntajes por encima de 6.71 deberían ser remitidas porque su nivel de estrés esta en nivel clínico. En la prueba original PSS-10 propuesta por Sheldon Cohen, se tenían 10 ítems con una escala likert de 0-4, donde los ítems 4,5,7 y 8 se tomaban en orden inverso y los otros de forma directa. En esta prueba la puntuación promedio es 13 con una desviación estándar de 14 puntos.

1. Si una psicóloga va a aplicar la prueba PSS-10, ¿cuál es el puntaje mínimo con el cuál se podría determinar un caso como estrés clínico?
2. Dos personas presentan de forma simultánea las pruebas PSS-4 y PSS-10 obteniendo como resultados 6 y 16 puntos respectivamente. ¿Cuál de las dos personas presenta mayor nivel de estrés?

CUESTIONARIO 

CAUSAS DE ERROR Y ACCIONES PARA OBTENER MEJORES RESULTADOS.

CONCLUSIONES.

APLICACIÓN PROFESIONAL DE LA PRÁCTICA REALIZADA

BIBLIOGRAFIA UTILIZADA

• Vallejo, M. A., Vallejo-Slocker, L., Fernández-Abascal, E. G., & Mañanes, G. (2018). Determining factors for stress perception assessed with the perceived stress scale (PSS-4) in Spanish and other European samples. Frontiers in psychology, 9, 37.

ANEXOS.

RUBRICA DE EVALUACIÓN.