Distribuciones

1. TEMA:

Distribución Binomial y Poisson

2. OBJETIVOS

2.1. Objetivo General

Explicar la Distribución Binomial y Poisson

2.2 Objetivos Específicos

• Demostrar las formulas aplicadas para determinar la distribución.

• Analizar los datos obtenidos y poder plasmarlos a través de una gráfica.

• Determinar los usos y las aplicaciones de la Distribución Binomial y Poisson

3. INTRODUCCIÓN

Estudiaremos en este tema dos de las distribuciones de probabilidad más importantes y que son imprescindibles a la hora de adentrarnos en el estudio de la inferencia estadística. La distribución binomial es uno de los primeros ejemplos de las llamadas distribuciones discretas que sólo pueden tomar un número finito, o infinito numerable, de valores. Fue estudiada por Jakob Bernoulli (Suiza, 1654-1705), quién escribió el primer tratado importante sobre probabilidad, “Ars conjectandi” (El arte de pronosticar). Los Bernoulli formaron una de las sagas de matemáticos más importantes de la historia.

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).

4. MARCO TEÓRICO

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Si realizamos n veces un experimento en el que podemos obtener éxito, E, con probabilidad p y fracaso, F, con probabilidad q (q = 1 − p), diremos que estamos ante una distribución binomial de parámetros n y p, y lo representaremos por Bin(n;p). En este caso la probabilidad de obtener k éxitos viene dada por:

Dónde:

• n es el número de pruebas.

• k es el número de éxitos.

• p es la probabilidad de éxito.

• q es la probabilidad de fracaso.

• El número combinatorio

CARACTERÍSTICAS:

Las características de esta distribución son:

a) Se esperan dos tipos de resultados denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).

b) Los resultados son constantes, es decir no cambian.

c) Las repeticiones del experimento son independientes entre sí.

d) El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.

ANÁLISIS MATEMÁTICO:

A partir de un ejemplo. Desarrollaremos una fórmula que nos permita resolver cualquier problema que tenga este tipo de distribución.

Ejemplo: Se lanza al aire una moneda normal 3 veces, determine la probabilidad de que aparezcan 2 águilas.

Solución:

Identificamos que el problema tiene una distribución binomial ya que se trata de un experimento con dos únicos resultados mutuamente excluyentes entre si (águila o sello), cuyas probabilidades de ocurrencia son constantes, cada uno de los lanzamientos es independiente de los demás y el número de ensayos del experimento son constantes, n = 3. Seguidamente hay que hacer es un diagrama de árbol, en donde representaremos los tres lanzamientos, de ahí se obtendrá el espacio muestral y posteriormente la probabilidad pedida, usando la fórmula correspondiente.

A = águila, S = sello

Ω= {AAA, AAS, ASA, ASS, SAA, SAS, SSA, SSS}

Para obtener la fórmula, se define lo siguiente:

n = número de lanzamientos de la moneda

x = número de éxitos requeridos = número de águilas = 2

p = probabilidad de éxito= p(aparezca águila) =1/2

q = probabilidad de fracaso= p(aparezca sello) =1/2

Entonces podemos partir de la siguiente expresión para desarrollar la fórmula;

P (2A)= (# ramas del árbol en donde 2A)*(probabilidad asociada a cada rama)

Entonces el número de ramas en donde aparecen dos águilas se puede obtener:

Enumerando las ramas de interés: AAS, ASA, SAA.

¿Qué tipo de arreglos son estos elementos del espacio muestral? Son permutaciones en donde algunos objetos son iguales, entonces, el número de ramas se puede obtener con la fórmula:

donde n = x1+x2+...+ xk

sustituyendo en esta fórmula, tenemos lo siguiente;

esta fórmula puede ser sustituida por la de combinaciones, solo en el caso de dos tipos de objetos, si hay más de dos tipos de objetos, definitivamente solo se usa la fórmula original, como se observará en el caso de la distribución multinomial, pero ¿porqué vamos a cambiar de

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