Divergencia

Divergencia.

Dado un campo vectorial 𝑨, podemos obtener el flujo neto hacia afuera del campo desde una superficie cerrada 𝑆 mediante el calculo de la integral de contorno cerrado

[pic 1] 𝑑𝑺

Donde 𝑑𝑺 es el diferencial de superficie (o área), este diferencial suele definirse, por lo general como 𝑑𝑺 = 𝑑𝑆 𝒂𝒏, donde 𝒂𝒏 es un vector unitario normal a la superficie 𝑑𝑆.

La divergencia del campo vectorial 𝑨  se puede ver como el flujo neto hacía afuera por unidad de volumen por un incremento de superficie cerrada, en otras palabras:

La divergencia de 𝑨 en un punto 𝑃 es el flujo hacia fuera por unidad de volumen a medida que el volumen se contrae alrededor de 𝑃.

Es decir,  

[pic 2] 𝑑𝑺

𝑺 div 𝑨        𝐥𝐢𝐦 [pic 3] [pic 4]

        𝚫𝒗→𝟎        [pic 5]𝑣

donde Δ𝑣 es el volumen encerrado por la superficie cerrada 𝑆 en la que se encuentra el punto 𝑃.

[pic 6] 

Figura 1. Ejemplos de la divergencia de un campo vectorial en un punto 𝑃.

a) Positiva, b) negativa, c) cero

Se puede entender, como interpretación física, que la divergencia del campo vectorial 𝑨 en un punto dado mide el grado en que este campo emana de tal punto. En la figura, se considera un divergente positivo si el vector se aparta de 𝑃, es negativa si converge hacia 𝑃.

Usando la formula anterior, podemos obtener una expresión para el divergente de 𝑨 en coordenadas cartesianas.

Partamos del hecho que se quiere evaluar la divergencia del campo 𝑨 en el punto 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) que se encuentra encerrado en un volumen diferencial (figura 2). Luego, la integral de superficie se obtendrá a través de: [pic 7]

 [pic 8]𝑺        𝑎𝑛𝑡        𝑝𝑜𝑠𝑡        𝑖𝑧𝑞        𝑑𝑒𝑟        𝑠𝑢𝑝        𝑖𝑛𝑓        ) [pic 9] 𝑑𝑺

Por serie de Taylor, para 𝐴𝑥 alrededor de 𝑃:         Figura 2. Volumen diferencial para el

punto 𝑃. 𝜕𝐴𝑥

𝐴𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐴𝑥(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) + (𝑥 − 𝑥0) [pic 10]|        +

𝜕𝑥 𝑃

        𝜕𝐴𝑥        𝜕𝐴𝑥

        (𝑦 − 𝑦0) [pic 11]|        + (𝑧 − 𝑧0) [pic 12]|        + 𝑡. 𝑜. 𝑠.

        𝜕𝑦 𝑃        𝜕𝑧 𝑃

𝑑𝑥

Luego, por el lado anterior 𝑥 = 𝑥0 + [pic 13]2 y 𝑑𝑺 = 𝑑𝑦𝑑𝑧𝒂𝒙, así

𝑑𝑥 𝜕𝐴𝑥[pic 14]

𝑨 [pic 15] 𝑑𝑦𝑑𝑧 [𝐴𝑥(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) + [pic 16]| ] + 𝑡. 𝑜. 𝑠.

        𝑎𝑛𝑡        2        𝜕𝑥 𝑃

𝑑𝑥

Para el lado posterior 𝑥 [pic 17] y 𝑑𝑺 = 𝑑𝑦𝑑𝑧(−𝒂𝑥), luego:

𝑑𝑥 𝜕𝐴𝑥[pic 18]

𝑨 [pic 19]𝑑𝑦𝑑𝑧 [𝐴𝑥(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) − [pic 20]| ] + 𝑡. 𝑜. 𝑠.

        𝑝𝑜𝑠𝑡        2        𝜕𝑥 𝑃

Similarmente podemos obtener igualdades para las integrales izquierda y derecha, lo mismo que superior en inferior, lo que en consecuencia significa que:

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