Ecuación constitutiva de un cuerpo diferencial

Ecuación constitutiva de un cuerpo diferencial

XXXXXXXXXXX, Universidad del sinú, xxxxxx@unisinu.edu.co

Resumen: A continuación, se presenta el estudio y generación de las ecuaciones constitutivas de los materiales a partir de la ley de Hooke generalizada. Se asume un comportamiento lineal elástico para el estudio de los materiales y propiedades isotrópicas que describan los alargamientos sufridos en distintos planos del elemento infinitesimal. Se presenta la relación de Poisson que describe las deformaciones laterales que sufre un cuerpo respecto a la deformación principal causada por un esfuerzo axial. A partir de lo anterior, se construye la relación constitutiva de un material y se exponen casos particulares de deformación plana y esfuerzo plano. Finalmente se calculan las matrices D que permiten calcular de manera directa los esfuerzos principales y cortante con respecto a las deformaciones.

Palabras Clave: Elementos finitos, Ley de Hooke, Poisson, esfuerzos, deformaciones.

1. Introducción

Los cuerpos, de acuerdo a las leyes de newton, se encuentran en reposo o en velocidad constante. Cualquier situación que los someta a un cambio o variación de estas condiciones, es resultado de una fuerza actuante sobre el cuerpo. Estas fuerzas actúan sobre el cuerpo afectando no solo su posición sino su geometría. Las fuerzas representadas a nivel local, por unidad de área, se definen como esfuerzos:

Estos esfuerzos generan variaciones geométricas, desplazando los elementos infinitesimales del cuerpo cercanos al área afectada por el esfuerzo. Para ello se describirá el fenómeno de tensión simple de forma que pueda ejemplificarse de mejor manera el problema.

[pic 2]

Ilustración 1. Fenómeno de tracción a) estado inicial y b) cuerpo deformado.

De acuerdo a la Ilustración 1. el cuerpo empotrado en su extremo superior, es sometido a una carga P que genera un delta de alargamiento o deformación en su geometría de referencia. La deformación en la mecánica del continuo es la transformación de un cuerpo de una configuración de referencia a una configuración actual [1]. La configuración de un cuerpo es un conjunto que describe las posiciones de todas las partículas del cuerpo, es decir, los elementos infinitesimales que conforman el cuerpo. Las deformaciones pueden ser causadas por cargas externas, fuerzas del cuerpo (como la gravedad o fuerzas electromagnéticas), o cambios en la temperatura, contenido de humedad o reacciones químicas del cuerpo o ambiente, etc.

Estas relaciones directas entre las deformaciones experimentadas por un cuerpo en torno a los esfuerzos a los cuales es sometido, se denominan relaciones constitutivas. Estas relaciones dependen del tipo de material, de los procesos que se quieran modelar, etc. Aunque las relaciones constitutivas más sencillas y útiles son bien conocidas y están descritas en todos los libros, todavía se siguen proponiendo otras nuevas que mejor modelan el comportamiento de nuevos materiales. La formulación de modelos constitutivos es especialmente compleja cuando las deformaciones son grandes.

La razón de deformación (axial) del cuerpo está dada por la expresión:

La anterior expresión Ecuación 2. lleva a la introducción del concepto de deformación unitaria. Esta se define como la deformación por unidad de longitud de un cuerpo. Esta deformación se representa con la letra griega épsilon ε, y se tiene:

A partir de las expresiones Ecuación 1. y Ecuación 3. se generan las gráficas esfuerzo deformación en ingeniería, que brindan información de propiedades mecánicas de los materiales.

La mayor parte de las estructuras en ingeniería son diseñadas para sufrir pequeñas deformaciones, que involucran únicamente la región elástica de los materiales, o la parte recta del diagrama esfuerzo-deformación convencional. A partir de lo anterior, el matemático Robert Hooke (1635-1703) plantea la siguiente relación que interacciona los esfuerzos y deformaciones:

La constante E de la ecuación Ecuación 4. es el módulo de Young, y es propio de cada material. Esta relación lineal es válida hasta el límite de proporcionalidad de la curva esfuerzo deformación o en el caso de materiales dúctiles, hasta el esfuerzo de fluencia. A su vez, de acuerdo a la homogeneidad direccional de las propiedades del material, esta relación es aplicable considerando cualquier esfuerzo en cualquier dirección. Este tipo de materiales son considerados como Isotrópicos. Los materiales cuyas propiedades dependen de la dirección seleccionada, son considerados como anisotrópicos.

1. Relación de Poisson

En los materiales, la elongación resultante de la acción de un esfuerzo direccional, se acompaña de una contracción en cualquier dirección transversal a dicha carga. A partir de este punto, se considerará que los materiales ejemplificados describirán un comportamiento isotrópico, es decir, sus propiedades mecánicas no variarán con la dirección. Esto a su vez significa que la deformación unitaria debe tener el mismo valor para cualquier dirección transversal.

[pic 4]

Ilustración 2. Elemento infinitesimal con cargas axiales.

Por lo tanto, para la carga mostrada en Ilustración 2 las deformaciones experimentadas en las direcciones transversales, deben ser iguales (σz=σy). La relación de Poisson, llamada así en honor a Siméon Denis Poisson (1781-1840), denotada con la letra, denotada con la letra ν (Nu) expresa que:

Teniendo en cuenta la ecuación descrita en Ecuación 5. se deduce que la equivalencia de las deformaciones:

1. Ley de Hooke generalizada

Basado en la Ilustración 2, se supone el caso en que los esfuerzos σy y σz son diferentes de cero, incluyendo el esfuerzo σx. Esta condición se conoce como carga multiaxial [2].

[pic 7]

Ilustración 3. Estado de cargas y deformaciones multiaxiales.

Asumiendo un elemento infinitesimal isotrópico con forma cúbica, sometido a una carga multiaxial determinada, el elemento se deformará hasta constituir un paralelepípedo rectangular de lados iguales. Debe advertirse que, como resultado de las deformaciones de los otros elementos del material, el elemento también puede sufrir traslación. En base al principio de superposición, y asumiendo un comportamiento linealmente elástico, el cual dice que el efecto de una carga combinada dada sobre una estructura puede obtenerse determinando los efectos de las distintas cargas y combinando los resultados de las mismas. Este principio tiene como condiciones que cada efecto se encuentre linealmente relacionado con la carga que lo produce, y que la deformación resultante de cualquier carga dada es pequeña y no afecta las condiciones de aplicación de otras cargas [3].

Con cargas multiaxiales, la primera condición será satisfecha si los esfuerzos no exceden el límite de proporcionalidad del material, y la segunda condición también se cumplirá si el esfuerzo en cualquier cara dada no causa deformaciones en las otras que sean lo suficientemente grandes para efectuar el cálculo de los esfuerzos en esas caras [1].

Considerando las previas consideraciones expresadas en la Ecuación 4., recordando que σx causa una deformación igual a σx/E en la dirección de x y deformaciones iguales a –νσx/E en las direcciones Y y Z. De manera similar ocurre con los esfuerzos axiales aplicados en las caras laterales a X. Combinando los resultados obtenidos, se concluye que las componentes de deformación correspondientes a la carga multiaxial dada son:

[pic 11]

Ilustración 4. Diagrama de elemento infinitesimal con carga multiaxial y cortantes. Tomado de [4].

Al introducir dentro del modelo las cargas cortantes sobre los planos como se muestra en Ilustración 3, se deben considerar el módulo de cortante que interacciona las deformaciones entre planos del elemento infinitesimal:

Las cargas cortantes son expresadas como:

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